Wie berechne ich lambda ohne Prozentwert?
Aufgabe:
Es wird ein Kuchen aus Hefeteig gebacken. Für den Teig benötigt man ein sogenanntes „Dampfl“
aus Hefe, warmer Milch und Zucker. Diese Zutaten werden verrührt und in ein 12 cm hohes
zylindrisches Gefäß gegeben. Man lässt das Gemisch einige Zeit in warmer Umgebung ruhen.
Die Höhe des Dampfls im Gefäß beträgt zu Beginn 4 cm. Das Dampfl dehnt sich durch Wärmezufuhr aus.
a) 11 Minuten nach Beginn des Vorgangs erreicht das Dampfl eine Höhe von 7 cm. Dieses
„Aufgehen des Dampfls“ kann mit dem Modell des exponentiellen Wachstums beschrieben werden.
h(t) = h0∙ ℯλ∙t
Problem/Ansatz:
Wie berechne ich lambda? Ich weiß die Formel, aber mir fehlt ein Puzzelteil um es auszurechnen. Wenn man googelt steht man braucht einen Prozentwert, aber in diesem Beispiel sind nur cm und min. angegeben. Wie also kann ich die Prozentzahl herausfinden? Und wenn ihr es vorrechnet, könntet ihr bitte die verschiedenen Zwischenschritte angeben. Danke!
2 Antworten
Hallo,
4*e^(11k)=7
e^(11k)=7/4
11k=ln (7/4)
k=[ln(7/4)]/11
Für lambda habe ich k genommen, weil ich kein lambda auf meiner Tastatur habe.
Hast Du den Wert für k, kannst Du die Höhe auch für andere Zeiten als für 11 Minuten berechnen. Einfach statt der 11 die gewünschte Zeit in Minuten eingeben.
Herzliche Grüße,
Willy
Allerdings ist dieses Modell nur für einen relativ geringen Zeitraum realistisch.
Das Dampfl wächst schließlich nicht ewig, wenn man ihm nur genügend Zeit läßt, sondern wird eine bestimmte Höhe nicht überschreiten.
Gibst Du als Zeit anstatt 11 Minuten zum Beispiel 3 Stunden=180 Minuten ein, wäre das Ding nach dieser Formel mehr als 379 m hoch. Das wird nicht passieren.
Nach 11 min hast Du 3 cm Höhenausdehnung.
Bezogen auf den Ausgangswert von 4 cm sind das 7/4 = 175 % oder 75 % Wachstum.