Durchmesser kugel?
Eine stahlkugel wird in ein mit Wasser gefülltes zylindrisches Gefäß gegeben. Der innere Durchmesser der Grundfläche des Gefäßes beträgt 6cm. Der Wasserspiegel steigt dabei um 0,5cm. Berechne den Durchmesser der Kugel
Hilfe!!
1 Antwort
Das Volumen der Kugel entspricht (offensichtlich hoffe ich) dem Volumen eines Zylindes mit dem Durchmesser von 6 cm (Innendurchmesser des Glases) und einer Höhe von 0,5 cm (Der Zunahme durch das Versenken).
Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet V=π⋅r²⋅h
dabei ist V das Volumen, π ist pi und r ist der Radius (des Zylindes) also musst Du den Durchmesser 6 cm durch 2 teilen, macht 3 cm = 30 mm.
Wegen der Genauigkeit ist hier alles in Millimeter umgerechnet
V=π⋅30²⋅5 das ist gleich 14137,167 Kubikmillimeter (hoch drei kann ich nicht eintippen) siehe:
https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/zylinder/volumen/
Nun brauchst Du nur noch eine Kugel die genau dieses Volumen hat. Dazu, ist ja logisch, brauchst Du Formel für das Volumen einer Kugel: V = (4/3)·π·r² (Achtung das ist falsch! es muss r hoch 3 heißen, aber ... siehe oben)
Solltest Du die Aufgabe wirklich verstehen wollen, müsstest Du die Formel nach r umstellen, denn Du willst ja den Radius bzw den Durchmesser der Kugel wissen. Du müsstest also beide Seiten durch 4/3 π teilen und dann die Kubikwurzel ziehen. Natürlich kannst es Dir leicht machen das Volumen auf der Webseite
https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/kugel/
einsetzen und sehen, dass die Stahlkugel mit dem Volumen 14137,167 einen Durchmesser von 30 mm hat.
Der ganze Trick - so alt wie Archimedes - besteht darin zu erkennen, dass sich Wasserstand genau um das Volumen der Kugel erhöht. Dieses zusätzlich Volumen ist (wie die Wassersäule ohne Kugel) ein Zylinder, denn das Glas ist rund. Wenn die Kugel versenkt wird, steigt der Wasserspiegel. Der Zylinder aus Wasser wird größer (höher - der Durchmesser des Glases bleibt ja gleich) und diese Differenz (die Zunahme des Wasserspiegel) die das Versenken der Kugel verursacht, entsteht durch die Wasserverdrängung der Kugel. Verstanden? Viel Glück