Wie berechne ich den Grenzwert mittels Taylorreihen?
Grüßt euch,
wir schreiben bald Klausur und der Dozent hat es nicht für nötig gehalten uns zu erklären was der Sinn des Ganzen ist.
Was ist der Sinn davon, dass wir X gegen Null schicken? Die bekannte Taylorreihe für sin(2x) und e^(x^2) würd ich aus der Formelsammlung nehmen und dann einsetzen.
1) stört mich das 2x bzw. x^2? Hab nur die Taylorreihe für sin(x) gefunden.
2) ab wann darf die Taylorreihe "abgebrochen werden", sodass nicht der komplette Nenner/Zähler endlos lang ist.
3) Was passiert mit meinen normalen Variablen der Form X bzw. X^2? Lass ich die stehen?
4) Was ist den hier passiert, wie wurde hier vereinfacht:
(Mache jetzt schon ewig Mathe, sorry falls ich hier einen simplen Rechenschritt übersehen hab^^ )
Danke schonmal :)
3 Antworten
Warum man diesen Grenzwert bestimmen möchte, geht eventuell aus der Aufgabenstellung vor, ansonsten ist es eine Übungsaufgabe.
Fragst ja auch nicht, warum ich die Wurzel von 144 berechnen soll, mach ich halt, ist 12.
Das mit dem 2x ist verwirrend, weils beidesmal x ist. Nimm doch die Taylorreihe in y und setze für jedes y ein (2x) ein.
Dann kannst Du für kleine X jeweils die kleinste Potenz von x inklusive dem absoluten Glied behalten, größere Potenzen von x lässt Du dann weg, weil sie im Vergleich zur kleineren Potenz immer unbedeutender werden.
1) stört mich das 2x bzw. x^2? Hab nur die Taylorreihe für sin(x) gefunden.
Du musst dann bei der Reihe von sin(x) einfach alle x durch 2x ersetzen. Bei exp(x) dann eben alle x durch x^2.
2) ab wann darf die Taylorreihe "abgebrochen werden", sodass nicht der komplette Nenner/Zähler endlos lang ist.
Da bin ich mir nicht ganz sicher. Aber mit der Landau-Symbolik soll man sowas wohl vereinfacht darstellen können.
3) Was passiert mit meinen normalen Variablen der Form X bzw. X^2? Lass ich die stehen?
Kannst du auch in die Reihe mit einfließen lassen.
4) Was ist den hier passiert, wie wurde hier vereinfacht:
Der Ausdruck 1/x wurde mit cos(x) erweitert und dann normal addiert.
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Ich würde so vorgehen.
Ich hab für sin(x)= x-x^3/3!+x^5/5!+-... x=2x eingesetzt, analog dazu für exp(x), x=x^2.
Denke mal du hast durch Vereinfachen irgendwas besser gemacht als ich.
Danke, was ist bei dir in Zeile 2 mit dem x im Zähler und der 1- im Nenner passiert?
Ich habe x zu 1/2 * 2x geschrieben und die 2x in die Sinusreihe mit aufgenommen. Das siehst du am Exponenten von (2x)^(2n+1) der zu (2x)^(2n+2) wird. Der Faktor 1/2 bleibt dann noch stehen.
Die 1 ist weg, da die Reihe von der Exponentialfunktion ja so anfängt, mit 1 anfängt, also 1 + x + x^2/2 + ... Ich habe also die 1 der Exponentialreihe genommen und die andere 1 damit eleminiert. Deswegen beginnt die Laufvariable nicht bei n = 0 sondern bei n = 1. Das Minus bleibt natürlich stehen.
Ich hab für sin(x)= x-x^3/3!+x^5/5!+-... x=2x eingesetzt, analog dazu für exp(x), x=x^2.
Das habe ich auch gemacht, siehst du doch... Im Zähler steht in der Reihe 2x statt x und im Nenner x^2 statt x.
4) Der erste Summand wurde auf den Hauptnenner x*cos(x) (also mit cos(x)) erweitert.
Danke, was ist bei dir in Zeile 2 mit dem x im Zähler und der 1- im Nenner passiert?
Ich hätte das ganze so aufgestellt: [x(2x-(2x)^3/3!)+...]/[1-(1+(x^2)/1!)+(x^4)/2!+...)]