Sinus und Kosinus am Einheitskreis?
Hi, wieso darf man bei dem Einheitskreis das untere Dreieck, so zeichnen, anstatt wie ich mit der rotem Strecke?
2 Antworten
Die Frage ist schon ein paar Wochen alt, trotzdem noch eine schnelle Antwort.
Ja, du kannst das Dreieck auch so einzeichnen, wie du es gemacht hast. Die zwei Dreiecke, die sich bei dir ergeben (und auch analog die zwei in Rammsteins Diagramm) sind ja ähnliche Dreiecke, sogar kongruente: gleiche Seiten und gleiche Winkel. (Man bekommt eines aus dem anderen, indem man es um 180° um den Mittelpunkt der Hypotenuse rotieren lässt.)
Ganz ehrlich vermute ich, dass der Grund, wieso man die Strecke des Kosinus unten illustriert hat, statt sie direkt auf die x-Achse zu legen, ganz banal ist:
Zum einen wäre der Punkt auf der x-Achse wäre dann nahe an dem anderen Punkt auf der x-Achse, der von dem "Sinusdreieck" gebildet wird, und das könnte man dann weniger schön ablesen als wenn das alles weiter voneinander entfernt ist und sich quasi nicht in die Quere kommt.
Aber der viel wichtigere Grund ist der, dass das obere "Sinusdreieck" direkt in das untere "Kosinusdreieck" übergeht, wenn du es um 90° (Vierteldrehung) in Uhrzeigersinn drehst.
Dann kommt die gelbe Seite des "Sinusdreiecks" genau auf der gelben Seite des "Kosinusdreiecks" zum Liegen. Der Winkel α ist dann da, wo jetzt im 4. Quadranten der Komplementärwinkel zu 90°-α ist, und außerdem —und das ist der Clou an diesem Diagramm!— die blaue Seite des "Sinusdreiecks", die ja die Länge sin(α) hat, landet dann exakt auf der blauen Seite des "Kosinusdreiecks", wo sie die Länge von cos(α-90°) darstellt.
→ Und damit ist ein graphischer Beweis erbracht, dass sin(α) = cos(α-90°) gilt, denn das ist ja der Sinn dieser Illustration!
Man kann aus dem üblichen "oberen" Dreieck im Einheitskreis auch ein Rechteck machen. Dann gilt (hier ist r = 5):
r * sin(α) = BC (= AD)
r * cos(α) = AB (= DC)
r * sin(β) = DC (= AB)
r * cos(β) = AD (= BC)
Offensichtlich gilt außerdem β = 90 - α
Das Rechteck lässt sich natürlich auch nach unten aufklappen.
Kann man machen, weil es sich um ein Rechteck handelt. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
Aber könnte man es theoretisch auch so machen, wie ich es eingezeichnet habe und den Kosinus Wert einfach auf der X-Achse direkt ablesen anstatt dass man unten da abliest