Wie begründet man die Symmetrie eines Funktionsgraphen?
Hi,
meine Frage steht oben.. wie könnte man die Symmetrie eines Graphen begründen, der entweder punktsymmetrisch ist oder der y-AA gegenüber ??
3 Antworten
Man begründet es normalerweise rechhnerich mit lieben Gleichungen (siehe Kommentar von Scharlatan818) (das gilt nur für das enge gitter).
Man kann diese aber auch in Worten beschreiben, jedoch ist das unnätig kompliziert und wird immer schwerer des so komplexer die Funktion wird.
Rechnerich mache führe ich es gerne einmal vor an der Funktion r=1 in Polargitter:
Achsensyitrie:
r_{Polar}²=r^2=x²+y²=1=f(x)
f(-x)=(-x)²+y²=x²+y²=f(x) (für alle reellen x-Werte)
f(-x)=f(x)
(Achsenssymetrich zur y-Achse)
r_{Polar}²=r^2=x²+y²=1=f(y)
f(-y)=x²+(-y)²=x²+y²=f(x) (für alle reellen y-Werte)
f(-y))=f(y)
(Achsensymetrrich zur x-Achse)
(Es gilt auch f(x)=f(y))
Punktsemytire:
r_{Polar}²=r^2=x²+y²=1=f(x)
-f(x)=-(x²+y²)=-x²-y²≠(-x)²+y=f(-x)
-f(x) ungleich f(-x)
(keine Punktsymetrie)
Beispiel: f(x)=csc(x)+cos(x)+sec(x)+sin(x)
(Mathematik ist doch wunderschön! uwu)
Hier wäre das begründen mit Worten wohl schwer...
Achsensymetrie:
f(x)=csc(x)+cos(x)+sec(x)+sin(x)
f(-x)=csc(-x)+cos(-x)+sec(-x)+sin(-x)
csc(x)+cos(x)+sec(x)+sin(x)≠csc(-x)+cos(-x)+sec(-x)+sin(-x)
(zur Erklärung siehe Taylorreihen und/oder Beziehung zur Exponentialfunktion oder siehe Graphikrechner)
f(x)≠f(-x)
(nicht Achsenymetrich zur y-Achse)
Punktsymetrie:
f(-x)=csc(x-)+cos(-x)+sec(-x)+sin(-x)
-f(x)=-(csc(x)+cos(x)+sec(x)+sin(x))=-csc(x)-cos(x)-sec(x)-sin(x)
-csc(x)-cos(x)-sec(x)-sin(x)≠csc(x-)+cos(-x)+sec(-x)+sin(-x)
(zur Erklärung siehe Taylorreihen und/oder Beziehung zur Exponentialfunktion oder siehe Graphikrechner)
-f(x)≠f(-x)
(keine Punktsymetrie)
Beispiel: 3x²-6xy-5y²=|x|
Achsensymetrie:
3x²-6xy-5y²=|x|
3(-x)²-6(-x)y-5y²=|(-x)|
3x²+6xy-5y²=|(-x)|
3x²-6xy-5y²≠3x²+6xy-5y²
(keine Achsensymetrie zur y-Achse)
Punktsymetrie:
3x²-6xy-5y²=|-x|
-(3x²-6xy-5y²)=-|x|
-3x²+6xy+5y²=-|x|≠3x²+6xy-5y²
-3x²+6xy+5y²≠3x²+6xy-5y²
(keine Punktsymetrie)
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. uwu
Der Graph ein Funktion f ist...
achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) = f(-x) oder alle Hochzahlen einer ganzrationalen Funktion f gerade sind.
punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) oder alle Hochzahlen einer ganzrationalten Funktion f ungerade sind.
Tritt keiner dieser Fälle ein, hat die Funktion f weder eine Achsensymmetrie zur y-Achse noch eine Punktsymmetrie zum Ursprung.
Ich hoffe, damit kannst du es begründen. Viel Erfolg
Achsensymmetrie: f(-x) = f(x)
Punktsymmetrie: -f(-x) = f(x)