schnittpunkte bei potenzfunktionen mehr als zwei?
hallo haha ich habe eine frage zu einer mathe aufgabe.. und zwar muss man aussagen begründen aber mir fällt kein gegen beispiel ein. die Aussage lautet: Die Graphen von zwei verschiedenen Potenzfunktionen haben genau zwei Schnittpunkte. Ich weiß dass sie faklsch ist aber wie begründet man das? ICh bitte um Hilfe:)
4 Antworten
f(x) = 1.5 * x ^ 0.23
g(x) = -2 * x ^ 1.4
Die haben nur einen einzigen Schnittpunkt in den reellen Zahlen, aber zwei Schnittpunkte in den komplexen Zahlen, insgesamt also drei Schnittpunkte, aber eben nur einen in den reellen Zahlen.
Das kommt darauf an... Wie lautet die genaue Aufgabenstellung? Hast du die Terme der Funktionen oder ein Schaubild?
Nein, es geht nur um Wahr oder Falsch aussagen. Man soll ein Gegenbeispiel bei falschen Aussagen finden, doch hier fällt es mir sehr schwer..
f(x) und g(x) sind zwei Potenzfunktionen mit
f(x)=sum(k=0,n){a_k*x^k} und
g(x)=sum(k=0,m){b_k*x^k} wobei m,n e N und m<n.
Behauptung: Die Differenz dieser beiden Funktionen hat für alle (a_k) und (b_k) e IR genau zwei Nullstellen.
Gegenbeweis:
f(x)-g(x)=0 -> sum(k=0,n){a_k*x^k}-sum(k=0,m){b_k*x^k}=0
-> sum(k=0,n){a_k*x^k}-sum(k=0,n){b_k*x^k}+sum(k=m+1,n){b_k*x^k}=0
->sum(k=0,n){a_k*x^k-b_k*x^k}+sum(k=m+1,n){b_k*x^k}=0
->sum(k=0,n){(a_k-b_k)*x^k}+sum(k=m+1,n){b_k*x^k}=0
Die Zeile darüber ist aber wieder ein Polynom vom Grad n, welches bis zu n reelle Nullstellen aufweisen kann. Damit ist die Aussage widerlegt.
Gegenbeispiel finden, wo es keinen oder nur einen Schnittpunkt gibt, etwa f(x) = x² und g(x) = - x².