Wer ist gut in Mathe brauche dringend Hilfe :o Thema: Flächen unter Funktionsgraphen?
Haaalloooo !!! brauche dringend eure Hilfe.. In Mathe habe ich eine Hausaufgabe die ich zu morgen haben muss, ich verstehe die gar nicht weiß auch nicht wie da rangehen soll. Meine Mitschüler verstehen die Aufgabe leider auch nicht... Die Aufgabe lautet : Ein Radrennfahrer steigert seine Geschwindigkeit v bei einer Testfahrt von 9 Minuten gemäß der Funktion v(t) = 300 *√t . ( t in min; v(t) in m/min) a) Welche Gesamtstrecke legt er dabei zurück ? b) Wie groß ist seine durchschnittliche Geschwindigkeit ? c) Welche maximale Geschwindigkeit erreicht er ?
ich hoffe einer kann mir (uns) helfen... Vielen dank im Voraus !!
4 Antworten
Hallo,
am einfachsten ist die Endgeschwindigkeit zu ermitteln. Hierzu brauchst Du nämlich nur die Zeit t, in der der Radfahrer unterwegs ist und in der er gleichmäßig und stetig beschleunigt, in die Geschwindigkeitsfunktion
v(t)=300*√t einzufügen.
9 Minuten fährt er, t ist also 9.
300*√9=300*3=900
Das sind allerdings Meter pro Minute. Möchtest Du dies in Kilometer pro Stunde umrechnen, mußt Du (900/1000)*60=54 km/h rechnen.
900 Meter sind 0,9 Kilometer. Soviel schafft er in einer Minute. Eine Stunde hat 60 Minuten, in einer Stunde schafft er also sechzigmal soviel.
Um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen, brauchst Du erst einmal die Strecke, die er insgesamt in diesen neun Minuten zurücklegt. Da er von Sekunde zu Sekunde immer schneller wird, ist es hier mit einer einfachen Multiplikation leider nicht getan. Vielmehr entspricht die Gesamtstrecke der Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion von t=0 bis t=9 und Fläche bedeutet Integral/ Stammfunktion.
Du mußt zu v(t)=300*√t die Stammfunktion V(t) finden.
Das ist in diesem Fall aber nicht so furchtbar schwierig. Die 300 ist ein Faktor, den Du einfach vor das Integral setzen und so lassen kannst. Dann bleibt im Integral noch die Wurzel aus t.
√t ist dasselbe wie t^(1/2).
Wenn Du x^y integrierst, addierst Du zu y eine 1, das ergibt x^(y+1); dann mußt Du aber den Kehrwert von y+1, also 1/(y+1) als Faktor noch davorstellen:
[1/(y+1)]*x^(y+1)
Genauso machst Du es mit t^(1/2) auch. 1/2 + 1=3/2, Kehrwert ist 2/3.
So bekommst Du (2/3)*t^(3/2) bzw. (2/3)*√t³
Jetzt darfst Du allerdings nicht die 300 vergessen, die als Faktor geblieben sind. V(x)=300*(2/3)*√t³=200*√t³
Für t=0 ist dieses Ding auch Null, was praktisch ist, weil Du beim Integrieren immer den Wert der unteren Grenze vom Wert der oberen Grenze abziehen mußt - und da dieser untere Grenzwert gleich Null ist, brauchst Du nur der Wert für t=9 auszurechnen, also 200*√9³=5400 m.
{Das geht auch ohne Taschenrechner: 9³=9²*9
√(9²*9)=√9²*√9=9*3=27
200*27=5400}
Das ist die Gesamtstrecke. Da er dafür 9 Minuten gebraucht hat, ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit 600 m/min oder 0,6*60=36 km/h.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich mag mich irren, aber ich denke, das geht einfacher als MeRoXas das vorschlägt. Im ersten Punkt gebe ich ihm Recht. Es ist v = ds/dt und s= ∫ v dt, also s =300 * 2/3 t^1,5. Aber ab dann geht es glaube ich (!) einfacher. Einfach t = 9 Min. einsetzen und Du hast die Strecke. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist einfach s/9 min und die maximale wird nach 9 Minuten erreicht, da er ja seine Geschwindigkeit stetig steigert. Also einfach t=9 in die Ausgangsgleichung einsetzen. Aber ich bin mir wie gesagt nicht sicher, da MeRoXas Matheprofi zu sein scheint.
Da hast du sogar Recht, habe nicht beachtet, dass die Funktion v(t) immer weiter steigt. Bin davon ausgegangen, dass es irgendwann einen Hochpunkt gibt, und der Radfahrer dann langsamer wird.
Da dies nicht gegeben ist, stimmen deine Lösungen und sind auch richtiger als meine, da ich bei meinen von einem existierenden Hochpunkt ausgegangen bin.
Man lernt halt nie aus.
a) Wegfunktion bilden (Stammfunktion von v(t)), erste positive Nullstelle von v(t) ausrechnen, in die Wegfunktion s(t) einsetzen.
b) 1/Nullstelle * Integral mit den Grenzen 0 und Nullstelle von der Funktion v(x).
c) v(t) gleich Null setzen, Hochpunkt ermitteln.
Anmerkung: Diese Ansätze sind fast komplett falsch ; bin von einem existierenden Hochpunkt der Funktion ausgegangen, da ich mir diese nicht angeschaut habe.
Das Schwierigste ,ist hier die Integration der Funktion y´=300 * t^0,5
siehe Mathe-Formelbuch Grundintegrale
S x^k= x^(k+1) / (k+1) hier ist S das Integralzeichen
bei dir ergibt sich y´= 300 * S * t^0,5 integriert ist dies y=300/1,5 * t^1.5 +C
mit 1/1,5=0,666...=2/3 ergibt sich y= 200 * t^1,5 + C
Dies ist die gesuchte Weg-Zeit-Funktion S(t)= 200 * t^1,5 +C
für t=0 ergibt sich S(t)=0 also 0= 200 * 0^1,5 +C =C also ist C=0
S(t)=200 * t^1,5 hier musst du nur noch die Grenzen einsetzen t1=0 u.t2=9 min
S= (obere Grenze ) - (untere Grenze)
HINWEIS : Die 3 Funktionen bei der Bewegung einer Masse m ,S(t) Weg-Zeit-Funktion,V(t) Geschwindigkeits-zeit-Funktion und a(t) beschleunigungs-Zeit-Funktion,sind über die "Differentialrechnung" und "Integralrechnung" miteinander verknüpft.
Ist die S(t) (Weg-Zeit-Funktion) gegeben,so erhält man die anderen beiden Funktionen durch differenzieren !!
Ist die a(t) (Beschleunigungs-Zeit-Funktion) gegeben,erhält man die beiden anderen funktionen V(t9 u. S(t) durch integrieren
Es treten dabei 2 Konstanten auf C1 und C2 die über die Anfangsbedingungen ermittelt werden müssen.
meistens ist C1=0 und C2=0 wenn zum Zeitpunkt t=0 keine Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsstrecke vorliegt.