Wendestelle bei Funktionsscharen?

Die Extremstellen konnte ich berechnen, aber ich schaffe die Wendestelle einfach nicht. Die Funktion lautet: 10x * e^(-0.5tx)

Meine Ableitungen sind:

1. Ableitung: e^(-0,5tx) * (10 - 5tx)

2. Ableitung: t * (-10e^(-0.5tx) + 2,5t^2 * xe^(-0.5tx))

3. Ableitung: Komme ich nicht drauf.

Ich schaffe es wie gesagt nicht f''(t, x) = 0 aufzulösen.

Answer 1

[MichaelH77]

$f'\left(x\right)=e^{-0.5tx}\left(10-5tx\right)$

$f''\left(x\right)=-0.5te^{-0.5tx}\left(10-5tx\right)+e^{-0.5tx}\left(-5t\right)$ $f''\left(x\right)=e^{-0.5tx}\left(-0.5\left(10-5tx\right)-5t\right)$

$f''\left(x\right)=te^{-0.5tx}\left(2.5tx-10\right)$

dritte Ableitung braucht man nicht unbedingt, man kann die Wendestelle auch mit dem Vorzeichenwechsel begründen

f''(x)=0 => 2.5tx-10=0

$x=\frac{4}{t}$

Answer 2

[gauss58]

f''(x) = t * e^(-0,5 * t * x) * (2,5 * t * x - 10)

0 = t * e^(-0,5 * t * x) * (2,5 * t * x - 10)

e^(-0,5 * t * x) kann nicht Null werden, so verbleibt:

(2,5 * t * x - 10) = 0

x = 4 / t

Prüfung hinreichende Bedingung:

f'''(x) = t² * e^(-0,5 * t * x) * (7,5 - 1,25 * t * x)

f'''(4 / t) = t² * e^(-0,5 * t * (4 / t)) * (7,5 - 1,25 * t * (4 / t))

f'''(4 / t) = t² * e^-2 * 2,5 (≠ 0, also WP)