Wendepunkt und Hoch- und Tiefpunkte?
Hey, ich habe folgendes Problem... ich habe versucht die Hoch und Tiefpunkte aus der Gewinnfunktion zu berechnen. Ich habe -19,2 und -2,4 bekommen. Also laut meiner Berechnung sollten das 2 Hochpunkte sein, jedoch bin ich irritiert durch die GRafik von Geogebra, da hier ein Tief und ein Hochpunkt zu sehen sind. Oder sind das trz 2 Hochpunkte? Und wo soll der Wendepunkt sein?
G(x)= 7x- 0,01x^3- 0,6x^2+13x)
5 Antworten
G(x)= 7x- 0,01x^3- 0,6x^2+13x)
Offenbar war K(x) = 0,01x^3- 0,6x^2+13x und E(x) = 7x
Dann ist G(x)= 7x- (0,01 x^3 - 0,6 x^2 + 13 x). Da fehlte die Klammer vor 0,01
G(x) = -0.01x³ + 0.6x² -6x
G'(x) = -0.03x² + 1.2x - 6 | Null setzen
0 = -0.03x² + 1.2x - 6 | : -0.03
0 = x² - 40x + 200 | pq-Formel
x = 20 +- wurzel(400 - 200)
x1 = 5,86 x2 = 34,14
G''(x) = -0.06x+1.2
G''(5,86)>0 ==> Tiefpunkt
G''(34,14)<0 ==> Hochpunkt
G(34.14) = 96.57
Das Gewinnmaximum von 96.57 GE wird bei
einer Produktionsmenge von 34.14 ME erreicht
Hoch- und Tiefpunkte mittels erster Ableitung berechnen:
abc-Formel ergbit (gerundet):
x=-52,66 und x=12,66
y-Werte bestimmen (gerundet):
f(-52,66)=-1256,74 und f(12,66)=136,74
Art des Punktes bestimmen (gerundet):
f´´(-52,66)=1,96 (Tiefpunkt) und f´´(12,66)=-1,96 (Hochpunkt)
Wendepunkt mittels zweiter Ableitung bestimmen:
umformen ergibt: x=-20. y-Wert bestimmen: f(-20)=80.
Art des Punktes bestimmen: f´´´(-20)=-0,06 (LR-Verlauf)
Ich möchte gerne erklären, warum man das so rechnet:
Um Hoch- und Tiefpunkte zu ermitteln, nützt man die Tatsache, dassan diesen Punkten die Steigung = 0 ist. Man macht also die 1. Ableitung, mit der man eine Formel für die Steigung der Stammfunktion erhält. Für jeden Extremwert der Stammfunktion muss also die 1. Abl. eine Nullstelle haben, die Du (hier) richtigerweise mit der pq-Formel ermittelst.
Damit man nun weiß, ob es sich beim Extremwert um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, muss man ermitteln, ob sich die Stammfunktion an dieser Stelle nach oben (Krümmung negativ, = Tiefpunkt) oder nach unten (Krümmung positiv = Hochpunkt) krümmt. Die Krümmung ermittelt man mit der 2. Ableitung, in die man dann den jeweiligen x-Wert der Extremstelle einsetzt.
Und zuletzt der Wendepunkt: Das ist der Punkt, wo die Krümmung das Vorzeichen wechselt, also 0 wird. Wie ermittelt man das? Einfach 2. Ableitung 0 setzen!
-19,2 und -2,4 ist offensichtlich falsch. Wie hast du das denn ausgerechnet? Dann sollten wir den Fehler finden, damit du es beim nächsten Mal richtig machst.
Hoch und Tiefpunkte wechseln sich immer ab und dazwischen liegen Wendepunkte. Bei dieser Funktion liegt der WP geschätzt bei W(20|40)
Ich vermute das ich dann wahrscheinlich beim 0 setzen etwas falsch gemacht habe oder ? ^^
Hi, du musst die erste Ableitung bilden und dann die 0 einsetzen, dann bekommst du die Extrempunkte raus. Beim Wendepunkt musst man die 2 Ableitung bilden und dann die 0 einsetzen
Die genannte Formel hat 2 Schwächen, vielleicht sind es Tippfehler:
7x und 13x würden normalerweise zusammengefasst
Es gibt eine schließende, aber keine öffnende Klammer.
Aso das sollte eine Gewinnfunktion darstellen, also g (x)= Gewinn - Kosten
Man muss ja die 2. Ableitung bilden und das wäre -0,6x+1,2. Und vorher muss man die 1. Ableitung bilden und 0 setzen. Setze ich die 0 wenn ich die PQ-Formel benutze? Wenn ja, dann habe ich x1=34,14 und x2=5,86. Diese Werte setze ich dann in die 2. Ableitung und erhalten dann
-> -0,6 mal 34,14+ 1,2= -19,2
und -0,6 mal 6+1,2 = -2,4
Die zahlen sind Negativ und sind somit 2 Hochpunkte