Welcher Punkt der parabel mit y=x² hat den kleinsten abstand zum punkt p(1|2)?
Welcher Punkt der parabel mit y=x² hat den kleinsten abstand zum punkt p(1|2)?
3 Antworten
Gesucht wird das Lot von P (1│2) auf die Parabel. Der Schnittpunkt S ist unbekannt. Das Lot (kürzeste Abstand) kann mittels Pythagoras berechnet werden:
s² = (2 - ys)² + (1 - xs)²
s² = 4 - 4 * ys + ys² + 1 - 2* xs + xs²
s² = ys² - 4 * ys - 2 * xs + xs² + 5
ys = xs² einsetzen
s² = xs^4 - 4 * xs² - 2 * xs + xs² + 5
s² = xs^4 - 3 * xs² - 2 * xs + 5
(s²)' = 4 * xs³ - 6 * xs - 2
0 = 4 * xs³ - 6 * xs - 2
xs_1 = -1 abspalten
0 = (xs + 1) * (4 * xs² - 4 * xs - 2)
xs_2 = (1/2) + √(3)/2 = 1,366... ; ys_2 = 1 + √(3)/2 = 1,866...
xs_3 = (1/2) - √(3)/2 = -0,366...
hinreichende Bedingung prüfen ...
S ((1/2) + √(3)/2│1 + √(3)/2))
Hier die Korrigierte Version meiner Antwort:
Du kannst das ganze auch geometrisch betrachten:
Ziehe um den Punkt einen Kreis, und vergrößerte ihn, bis er die Funktion an einem Punkt berührt. Dieser Punkt ist der den du suchst.
Da ein Kreis die Funktion nur berührt, wenn die Tangente gleich ist, und der Radius orthogonal zur Tangente ist, musst du den Punkt rausfinden, wo die Steigung der Verbindungslinie zu (1,2) die Steigung der Normalen der Funktion ist.
Steigung der Verbindungslinie:
m(n)=(x^2-2)/(x-1) (es ist egal, ob x größer oder kleiner 1 ist)
Außerdem gilt dieser Zusammenhang zwischen der Steigung der Normalen und Tangente:
m(n)*m(t)=-1
Und m(t) ist die erste Ableitung, also x^2
Wenn du alles einsetzt erhälst du:
(2x)(x^2-2)/(x-1)=-1
=> 2x^3-4x=-x+1
=> 2x^3-3x-1=0
Du musst nur noch die Nullstellen bestimmen.
Du musst dann noch prüfen, welche dieser stellen die richtige ist, dann hast du deinen gesuchten Punkt
Jeder Punkt der Parabel hat die Koordinate (x / x^2). Für den Abstand d zu (1 / 2) gilt nach Pythagoras also (1-x)^2 + (2-x^2)^2 = d^2.
Daraus folgt die Abstandfunktion d(x)=Wurzel [ (1-x)^2 + (2-x^2)^2 ].
Für diese Funktion muss das Minimum gesucht werden (Ableiten und gleich null setzen usw.). Der Term wirkt auf den ersten Blick für die Schule recht kompliziert, ist das eine CAS-Aufgabe? Die Ableitung geht ja noch (Kettenregel), aber das Nullsetzen... GeoGebra sagt dazu x=1,37...