Welche Eigenwerte und Eigenvektoren besitzt die folgende Abbildung?

Würde mich sehr freuen wenn mir einer von euch helfen könnte. Keine Ahnung wie ich da ambesten dran gehe

Answer 1

[FunWithMath]

Eigenwerte

A = {{cos(a), -sin(a)}, {sin(a), cos(a)}}

Du rechnest in von oben links nach unten rechts in einer diagonalen minus eine Konstante (in der Regel lambda) und ziehst dann die Determinante... Du erhältst das das charakteristische Polynom:

Du setzt es gleich 0 und löst nach lambda (einfach die PQ-Formel anwenden)...
Dir sollte direkt auffallen, dass sin²(a) + cos²(a) = 1 gilt (trigonometrischer Pythagoras)...
Du erhältst:

lambda = Exp(Plusminus a * i)
bzw.
lambda_{1} = cos(a) + sin(a) * i
lambda_{2} = cos(a) - sin(a) * i

Das sind deine Eigenwerte.

Eigenvektor

Jetzt nimmst du die wieder deine Matrix zieht wieder in der diagonalen wieder die Eigenwerte ab (ich nenne die Matrix "B"). Du erhältst:

B * v = 0

v sind deine Eigenvektoren.

Sagen wir v = {{b}, {c}}. Setzen wir ein:

v_{1}:
0 = -sin(a) * i * b - sin(a) * c
0 = -sin(a) * i * c + sin(a) * b
b = i, c = 1

v_{2}:
0 = sin(a) * i * b - sin(a) * c
0 = sin(a) * i * c + sin(a) * b
b = -i, c = 1

Das sind die Eigenvektoren...

Für mehr kannst du einfach auf Wikipedia nachschauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[Rammstein53]

Für die Eigenwerte gilt:

λ1+λ2 = spur(A) = 2*cos(a)

λ1*λ2 = det(A) = 1

Aus den beiden Gleichungen folgt:

λ2 = 2*cos(a) - 1/λ2

λ2² = λ2 * 2*cos(a) - 1

λ2² - λ2 * 2*cos(a) + 1 = 0

Lösungen:

λ1 = cos(a) - i*sin(a)

λ2 = cos(a) + i*sin(a)

Die Eigenvektoren ev={x,y} zu λ1 lösen die Gleichung:

(A - λ1*E2)*ev = 0

isin(s)*x - sin(a)*y = 0

sin(a)*x + i*sin(a)*y = 0

Lösung: x = -i, y = 1

Die Eigenvektoren ev={x,y} zu λ2 lösen die Gleichung:

(A - λ2*E2)*ev = 0

-isin(s)*x - sin(a)*y = 0

sin(a)*x -i*sin(a)*y = 0

Lösung: x = i, y = 1