We ermittle ich eine Ursprungsgerade?
Ich habe nur die Funktionsgleichung f(x)=(lnx)^2 gegeben und muss die Ursprungsgerade ermitteln, die den Graphen f(x) berührt, aber wie mache ich das?
3 Antworten
Du suchst die Stelle x, für die gilt: f'(x) * x = f(x)
WolframAlpha hilft.
Allgemeine Funktionsgleichung:
mit f(x) = ln(x)
Gesuchte Funjtionsgleichung der Form
g(x) = mx (Ursprungsgerade)
Beide Funktionen berühren sich in einer Stelle a mit f(a) = g(a) und f '(a) = g '(a) (nur Berühren, nicht schneiden, daher auch f '(a) = g '(a))
Aus f(a) = g(a) folgt ln(a) = ma
Aus f '(a) = g '(a) folgt 1/a = m
Die zweite Gleichung ergibt umgeformt a = 1/m
Das in die rste Gleichung einsetzen:
Es folgt ln(a) = m*1/m=1
Verkürzt: ln(a) = 1 ergibt umgeformt a = e
Die Berührungsstelle muss an der Stellle a = e sein.
Sie berühren sich am Punkt (e| f(e)) = (e|ln(e))=(e|1)
Für die Ursprungsgeradenfunktionsgleichung brauchst du nur die Steigung m und die ist nach der Formel m= (y2-y1)/(x2-x1) mit dem Punkt (0|0)
also m= (1-0)/(e-0) = 1/e
und deswegen muss die gesuchte Gerade von der Form y=(1/e)*x sein
Nö, die Funktion ist eine Verkettung Funktion und nach der Kettenregel ist die obige Ableitung richtig.
oh sorry hab nur den ln(x) gesehen...mach die Schritte einfach noch mal mit dem (ln(x))^2 dann hast dus
Ich danke dir vielmals. Das hat mir sehr geholfen. Ich habe es nach deinen Schrittfolgen gemacht und bin auf y=1/e*x gekommen. Also auch dein Ergebnis
Aber deine Aufgabe war ( ln(x))^2...die lösung dazu steht unten....
f(x) = (ln(x))^2 ; f´(x) = 2 * ln(x) / x
und Gerade g(x) = m * x ; g´(x) = m ;
Sowohl Funktionswert als auch Steigung der gesuchten Gerade und der Funktion müssen an einer Stelle x übereinstimmen.
also f´(x) = 2 * ln(x) / x = m ; und m * x = (ln(x))^2 ; => x * 2 * ln(x) / x = (lnx)^2 ;
=> 2 = ln(x) => x = 7,389... => m = 2 / 7,389... = > g(x) = 2/7,389..* x ;
Dann folgt einfach
(ln(a))^2=ma
und
2ln(a)*(1/a)=m
Die zweite Gleichung in die erste einsetzen und es folgt:
(ln(a))^2=2ln(a)*(1/a)*a=2ln(a)
es folgt (ln(a))^2-2ln(a) =0
und das ist ln(a)(ln(a)-2)=0
erste Lösung ist in ln(a) = 0 wegen dem satz vom Nullprodukt. Auf beiden Seiten e hoch nehmen und es folgt a = e^0=1
und die zweite Llsung ist ln(a)-2=0
was umgeformt ln(a) = 2 ...das umformen ergibt a=e^2
Die Stellen sind also einmal a1=1 und a2 = e^2 mit den Punkten (1|(ln(1))^2) also (1|0) und (e^2|(ln(e^2))^2) also (e^2|4)
wegen m=(y2-y1)/(x2-x1) folgt m = (4-0)/(e^2-0) = 4/e^2
und (0-0)/(1-0) was 0 ergibt...
Also folgen für die Funktionsgleichungen m1= 0 und m2 = 4/(e^2)
was dann dazu führt dass die gefragten Geraden von der Form y=(4/(e^2))*x und y=0*x=0 sind.