Was sind nichttriviale Nullstellen?
Ich habe im Interner gefunden, dass es Nullstellen sind, die man sofort ablesen kann, z.B. (x+4) (x-3) (x+6) usw.
Stimmt das?
Danke,
Lg
2 Antworten
trivial=einfach oder primitiv,
also alle einfachen Nullstellen bekannter Funktionen.
Über "Satz vom Nullprodukt" kann man (z.B. durch Ausklammern eines Faktors oder einfacher Funktionen) die einfachen Nullstellen leichter herausfiltern. In Deinem Fall gibt es sogar 3 primitive Faktoren vom Funktionstyp "Polynom Grad 1" = lineare Funktion.
Über bleibt der kompliziertere Rest -> "nicht-trivial".
Bis zum Polynom Grad 4 gibt es explizite Funktionen, mit denen man sofort die Nullstelle ohne den Trick des Ausklammerns berechnen kann
( http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php )
Bei
x^6 - 3 x^5 + x^2 - 10 x + 21kann man ausklammern:
(x-3)*(x^5+x-7) also vorn der triviale Faktor bei x=3
und hinten der nichttriviale, der nur mit Näherungsverfahren berechnet werden kann:
x2=1.41081385105957713198529... und noch
4 komplexe Nullstellen.
Bekannteste Beispiel:Zeta-Funktion
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_%CE%B6-Funktion#Nullstellen
Über die umgeformte Formel für negative Argumente (x < 0 ):
Zeta(1-x)= cos(Pi*x/2) * Zeta(x) * ...
erkennt man sofort am bekannten cos-Faktor, der bei ungeraden Argumenten primitive (also triviale) Nullstellen hat, die um 1 verschobenen Nullstellen, also bei
-2, -4, ... -2n mit n Element ganzer natürlicher Zahlen.
Der "Rest" ist so kompliziert (nichttrivial), dass bis heute kein Mensch einfache Formeln zur Berechnung aller weiteren Nullstellen gefunden hat:
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung
Die ersten nichttrivialen Nullstellen lauten:
x1=0.5 + 14.13472514173469379045725198356... i {komplexe Zahl }
x2=0.5 + 21.022... i
Mehr und genauer unter
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
mit x=0 und N=1 (für 1. komplex-Anteil)
N=2 (für 2. komplex-Anteil) bis
N=100000
Die Frage lautet nun, ob der Realanteil bis in alle Ewigkeit immer 0.5 lautet, oder ob es nicht doch noch andere Nullstellen gibt.
Kommt auf die Funktion an.
Wenn du da sowas drinstehen hast wie
f(x)=(x-2)*.......
dann gibt es einen Satz der besagt dass ein Produkt 0 ist wenn einer der Terme null ist.
also dass f(x)=0 ist wenn (x-2) =0 ist oder eben der rechte Teil gleich 0 ist.
Und aus (x-2)=0 kannst du gleich die Nullstelle x=2 ablesen.
Kann natürlich mehrere dieser Faktoren haben wie
f(x)=(x-3)*(x+2)*(x-5)
Dann siehste direkt die Nullstellen da für eine Nullselle es reicht wenn einer dieser terme gleich 0 ist.
also
kannste direkt ablesen dass
x-3=0 -> x=3
x+2=0 -> x=-2
x-5=0 -> x=5
Nützlich ist es immer wenn du ne Funktion so weit wie möglic in Produkte zerlegen kannst.