Was sind die Anwendungen der komplexen Analysis in der Quantenmechanik?

Cauchyscher Integralsatz oder Residuensatz z.B. werden an vielen Stellen zur Berechnung von Pfandintegralen verwendet. Die Quantenmechanik mit ihren komplexen Hilbert-Zustandsräumen ist eigentlich eine einzige Anwendung von komplexer Analysis und Funktional-Analysis…

Feynman hat den Zusammenhang von Teilchenaufenthaltswahrscheinlichkeit und mathematischer Kurvendiskussion hergestellt. Man kann damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens berechnen. Und zwar als Ist-Zustand, nicht als moegliche Loesung.

Es gibt Wellenfunktionen, deren Absolutquadrat einer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte von Elektronen entspricht, und die Eigenvektoren des Hamiltonoperators (im unendlichdimensionalen Hilbertraum, der Funktionen auf Vektoren abbildet) sind, was sie zu stabilen Zuständen macht (mit der Energie als Eigenwert).

Sie ist nützlich in der Beschreibung Quantenmechanischer Systeme.
Die Schrödingergleichung, die Grundgleichung der nicht-relativistischen Quantenmechanik, basiert auf komplexer Analysis, sowie auf Vektoranalysis, unter Bezugnahme dreier räumlicher Dimensionen. Sie beschreibt den Zustand und die zeitliche Entwicklung eines Systems, welches vom vorliegendem Potenzial abhängt. Das Quadrat dieser Eigenfunktionen ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem Ort x zur zeit t zu finden. Die Wellenfunktionen sind für den sogenannten Hilbertraum definiert, was bedeutet sie sind nur physikalisch definiert, wenn sie quadratintegrabel sind.