Was muss ich bei dieser Matheaufgabe machen?
Hallo, folgende Fragestellung: Es sei die Funktion f: R³ -> R, mit f(x,y,z) = x²y²z² über der Schnittmenge von dem Ellipsoid x²+(1/9)*y²+¼z²=1 mit der Ebene 3x-y=0, Ermitteln sie alle Extrema der Funktion?
Was ist bitte ein Ellipsoid. Kennt sich da jemand aus, ist ne Übungsaufgabe für Höhere Mathematik 2 für Ingenieure
1 Antwort
Ein Ellipsoid sieht aus wie der Rand eines Eis. Die Ebene 3x-y = 0 schneidet den Rand schräg. Die Schnittmenge ist die Ellipse 2x² + z²/4 = 1.
Die Aufgabe löst man mit dem Lagrange-Verfahren:
Nebenbedingung 1: x² + y²/9 + z²/4 - 1 = 0
Nebenbedingung 2: 3x-y = 0
Lagrangefunktion:
L = x²*y²*z² + s*(x² + y²/9 + z²/4 - 1) + t*(3x-y)
partielle Ableitungen:
L/dx = 2x(s+y²z²) + 3t
L/dy = 2/9*y(s+9x²z²)-t
L/dz = 1/2*z(s+4x²y²)
L/ds = z²/4 + y²/9 + x² - 1
L/dt = 3x-y
Setzt man alle Ableitungen 0, entsteht ein GLS, das man nach x,y,z auflösen kann.
Lösung Maximum: x = +- 1/sqrt(3), y = +- sqrt(3), z = +- 2/sqrt(3)
Wobei die Vorzeichen von x und y gleich gewählt werden müssen. Das führt zu vier Extrempunkten.
Lösung Minimum: x = y = 0, z = +- 2
Dankeschön, für die ausführliche Antwort. Habe die selben Lösungen schließlich über das Einsettungverfahren erarbeitet. Vielen Dank :)