Extrema und Wendestellen von Funktionsscharen
Liebe GuteFrage.net-Gemeinschaft!
Ich bin 17 Jahre alt und eine Mathematikklausur im Mathematik-Leistungskurs steht an. Nun stellt sich mir ein Problem entgegen: Die Klausur beinhaltet unter anderem Extrema und Wendestellen von Funktionsscharen. Der doofe Herr Simons (Name geändert) ist allerdings aufgrund einiger Krankheiten (Loch im Bein -> Krankenhausaufenthalt) nicht in der Lage, dieses Thema angemessen zu erläutern. Er denkt, es wäre ausreichend, uns 147 Übungsaufgaben zu geben, damit wir es uns selbst beibringen. Funktioniert aber nicht wie gedacht... Bitte erklärt mir (in verständlicher deutscher Sprache, nicht dieses Wikipedia-Geplänkel) die Berechnung von Extrema und Wendestellen von Funktionsscharen. PS: Wie man merkt, bin ich ebenfalls im Deutsch-Leistungskurs, welcher mir entsprechend leichter fällt als Mathematik.
Liebe Grüße, Joshflux
4 Antworten
Nun, zu dem PS sag ich mal nur: Einbildung ist auch eine Art Bildung ...
Zur Frage:
Was ist eine Funktionsschar?
Eine Funktionsschar ist eine Menge von Funktionen, die einander "ähnlich" sind. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solche Funktiosscharen mathematisch zu beschreiben. In der Schule wird jedoch meist mit einem Parameter gearbeitet, der in der Funktionsgleichung auftritt. Dieser Parameter wird wohl meistens mit a bezeichnet. Je nach dem Wert dieses Parameters a ändert sich das Aussehen des entsprechenden Funktionsgraphen "ein bisschen".
Eine Funktionsschar könnte z.B. durch folgende Gleichung gegeben sein:
fa ( x ) = a * x ³ + x ²
(Der Parameter a wird dabei als kleiner Buchstabe unten an das f geschrieben.)
Diese Schar besteht unter anderen auch aus den Funktionen
f0 ( x ) = 0 * x ³ + x ²
f1 ( x ) = 1 * x ³ + x ²
f2 ( x ) = 2 * x ³ + x ²
....
sowie
f-1 ( x ) = - 1 * x ³ + x ²
f-2 ( x ) = - 2 * x ³ + x ²
...
Der Parameter kann aber grundsätzlich nicht nur ganze Zahlen, sondern auch jede andere reelle Zahl annehmen, z.B. a = -0,67. Die entsprechende Funktion der Funktionenschar ist dann:
f-0,67 ( x ) = - 0,67 * x ³ + x ²
.
Für die bei der Kurvendiskussion zu bildenden Ableitungen wird der Parameter a als Konstante behandelt.
Die Ableitung der Funktionenschar
fa ( x ) = a * x ³ + x ²
ist also:
fa ' ( x ) = 3 * a * x ² + 2 x
Um die Kandidaten für Extremstellen von fa ( x ) zu finden, wird diese Ableitung wie gewohnt gleich Null gesetzt:
3 * a * x ² + 2 x = 0
und nach x aufgelöst:
<=> x ( 3 * a * x + 2 ) = 0
<=> x = 0 ODER 3 * a * x + 2 = 0
<=> x = 0 ODER x = - 2 / ( 3 * a )
Man erkennt: Unabhängig von a ist x = 0 immer ein Kandidat für eine Extremstelle. Der zweite Kandidat hängt von dem Wert des Parameters a ab.
Mit der zweiten Ableitung von fa ( x ) prüft man, ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt:
fa ' ' ( x ) = 6 * a * x + 2
Setzt man hier den ersten Kandidaten x = 0 ein, so ergibt sich:
fa ' ' ( x = 0 ) = 2 > 0, also liegt bei x = 0 immer ein Tiefpunkt vor.
Für die zweiten Kandidaten x = - 2 / ( 3 * a ), die abhängig vom Parameter a sind, gilt:
fa ' ' ( x = - 2 / ( 3 * a ) ) = 6 * a * ( - 2 / ( 3 * a ) ) + 2
= - 12 * a / ( 3 * a ) + 2
= - 2 < 0
Dort liegt also immer ein Hochpunkt vor, sofern der Kandidat überhaupt existiert, was für a = 0 nicht der Fall ist (Division durch Null). Für a = 0 hat die entsprechende Funktion der Funktionsschar also nur einen Tiefpunkt und kein weiteres Extremum. Schaut man sich die Funktionsgleichung fa ( x ) = a * x ³ + x ² an, dann erkennt man auch den Grund dafür: Für a = 0 ist f0 ( x ) = 0 * x ³ + x ² = x ² also eine Normalparabel - und die hat eben nur einen Tiefpunkt.
Ergebnis: Jede Funktion der Schar fa ( x ) = a * x ³ + x ² hat einen Tiefpunkt bei x = 0 und einen Hochpunkt bei x = - 2 / ( 3 * a ).
Beispiel:
Für a = 3 lautet die entsprechende Funktion der Funktionenschar
f3 ( x ) = 3 * x ³ + x ²
Sie hat einen Tiefpunkt bei x = 0 (wie alle Funktionen der Schar) und einen Hochpunkt bei
- 2 / ( 3 * a ) = - 2 / ( 3 * 3 ) = - 2 / 9
Hier ein Plot dieser Funktion:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%C2%B3%2Bx%C2%B2
.
Ebenso geht man bei den Wendepunkten vor:
Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung von fa ( x ) gleich Null sein, also:
fa ' ' ( x ) = 6 * a * x + 2 = 0
<=> x = - 2 / ( 6 a )
Ist die dritte Ableitung von f ( x ) an dieser Stelle ungleich Null, dann liegt ein Wendepunkt vor.
fa ' ' ' ( x ) = 6 a
An der Stelle a = 0 liegt kein Wendepunkt vor, da 6 * 0 = 0 ist und die höheren Ableitungen von fa alle gleich Null sind.
Für a < 0 ist fa ' ' ' ( x ) kLeiner als Null, es liegt also eine Links-Rechts-Wendestelle vor.
Für a > 0 ist fa ' ' ' ( x ) gRößer als Null, es liegt also eine Rechts-Links-Wendestelle vor.
(Die fett gesetzten Buchstaben deuten eine geeignete Eselsbrücke an, mit der man sich die Art der Wendestelle gut merken kann.)
Zu der Antwort von JotEs . Dem seine Funktionenschar hat es wirklich in sich:
f ( x ; a ) := a x ³ + x ² ( 1 )
Das ist jetzt nur ein Beispiel. Ich diskutier die mal, damit du merkst, welche Stolpersteine dir so drohen.
Als Erstes hast du die doppelte Nullstelle im Ursprung. Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist immer ein Extremum; ob Minimum oder Maximum, wissen wir noch nicht so genau.
Viel wesentlicher ist die Fallunterscheidung bezüglich a ; welchen Grad hat Polynom ( 1 ) ? Offensichtlich 2 im Falle a = 0 ; sonst 3 .
Jetzt kriegst du erstmals mit mir zu tun. wie bestimmt man den WP eines Polynoms 3. Grades? Bitte mach das NIE WIEDER über die 2. Ableitung. Von mir lernst du Technik. Du gehst über zur Normalform
F ( x ; a ) = x ³ + ( 1/a ) x ² ( 2a )
x ( w ) = - a2/3 = - 1/3a ( 2b )
wieder Fallunterscheidung; für positive a kommt Funktion ( 1 ) von Rechts asymptotisch von ( + °° ) Der Ursprung liegt rechts von dem WP ===> Minimum . Wenn a < 0 , kommt das ( ungerade ) Polynom ( 1 ) von Links von ( + °° ) Jetzt liegt der Ursprung links von dem WP; abermals hast du ein Minimum.
( Ich geb's zu; bei dieser Funktionenschar entscheidest du das eindeutig schneller über die 2. Ableitung. ) Dieses Minimum ist quasi die Konstante in der Erscheinungen Flucht; der WP divergiert ja für a ===> 0 .
Bei Funktionenscharen musst du immer so höllisch auf die Grenzfälle Acht passen.
Für das Maximum brauch ich auch keine ( erste ) Ableitung; ein Trick, den du von mir übernehmen solltest. Jedes kubische Polynom verläuft PUNKT SYMMETRISCH gegen seinen WP.
Damit passiert aber was voll Komisches. Relativ zu ( 2b ) hast du also ungerade Symmetrie ( allerdings gegenüber dem WP, NICHT gegen x ( w ) ! ) Wenn jetzt für a ===> 0 dieser Punkt die Flatter macht, hast du auf einmal GERADE Symmetrie gegen x = 0 . Physiker bezeichnen sowas als spontane Symmetriebrechung.
Um jetzt das Maximum zu erhalten, tust du nix weiter, als den Ursprung an dem WP ( 2b ) spiegeln:
x ( max ) = - 2/3a ( 3 )
Ich hoffe ich konnte dir die Problematik dieses Parameters ein bissele näher bringen so wie paar meiner Techniken.
Ach eben fällt mir noch was ein. Leider ist diese aufgabe nicht kompliziert genug; bei Lycos habe ich mich richtig warm gelaufen. Ich kann das hier nur andeuten - es sei denn, es kommen mal so Aufgaben.
Stell dir vor, du hast ein Polynom in x , dessen sämtliche Koeffizienten nur linear von a abhängen. Wenn du sowas hast - okay. Dann ist es nämlich ein Klax, alles nach a umzustellen. Das führt dann auf eine nomografische Lösung a = a ( x ) , eine gebrochen rationale funktion, der du z.B.Wert volle Hinweise entnehmen kannst, in welchem Bereich von a die Gleichung wie viele Lösungen hat bzw. wie viele Extrema es gibt. Aber ohne Beispiel kann ich da schwer was machen.
Ich weiß nicht, ob du hier die Möglichkeit hast, meine bisherigen Antworten zu beobachten bzw. einzusehen. Du solltest es tun, denn dann wirst du erkennen, dass ich ein Kompromiss loser Steiter vor dem Herrn bin. Die Techniken, die ich eingeführt habe zur Untersuchung ( individueller ) Polynome 3. und 4. Grades, weichen doch erheblich von dem ab, was so in den Büchern steht - und das hab ich mir alles selber erkämpft. Nennenswerte Konkurrenz ist mir auf dem Gebiet noch nicht erwachsen.
Ich kann weiter nichts tun, als auf Aufgaben von dir zu reagieren. Okay; mit 17 war ich schon ein recht unternehmungslustiger Bursche - aber kein Vergleich mit Heute. Ich habe ohne Weiteres Verständnis, dass du noh Anleitungen von einem Lehrer bedarfst.
Ich selbst hatte mal einen Mathe-und Physiklehrer, den die EIGENEN KOLLEGEN das " Vollgenie " nannten. Meint unser Chemielehrer
" Niemals würde ich meine Jungs an diese Anstalt geben. Sicher.
Da fände sich immer ein Weg, dass die nicht zu Pappi in die Klasse kommen. aber wenn die dann heim kommen und mir Mittags ihre so genannten Ansichten über das Vollgenie berichten - nie wieder könnte ich Kollegen XY unbefangen in die Augen sehen ... "
spürst du das Selbstbezügliche hinter dieser Aussage? Dabei war XY höchst kompetent; er war nur gefühlsblind ===> Damasio ===> Amygdala.
Heute, wo ich das alles weiß, ist mir längst klar, dass es eine Matematik ohne Emotionen, ohne Engagement nicht gibt. Der Matematiker ist immer auch Künstler und Schriftsteller.
Und das Frappante an deinem Simons - unser XY war auch konstant der Meinung, er selber brauche gar nichts tun und sagen. Die ganze Klasse werde sich den Stoff schon autodidaktisch beibringen.
Ach eben fällt mir ein, wie der Spitzname " Vollgenie " entstand. Unser Chemielehrer hatte berichtet, XY habe ernstlich versucht, einer Kl. 7 die Integralrechnung ( ! ) näher zu bringen ...
Wo du mir jetzt technisch weiter helfen müsstest. Bei den Kollegen von Lycos ging das ja organisatorisch voll easy; da hieß es, deine Antwort auf Frage X hat einen Kommentar erhalten. Oder DU hast eine private Naxhricht erhalten.
scheint mir das hier nur so; oder ist diese Oberfläche tatsächlich schwerfälliger? Irgendwie fühle ich mich allein gelassen und ganz hilflos. Welche Wege gibt es für dich, mich z.B. wissen zu lassen, dass du Aufgaben oder Fragen für mich hast?
Hi. Du Berechnung von Extrema und Wendestellen funktioniert genauso wie bei einfachen Funktionen. Du hast lediglich eine Variable, die Du mitschleppst. Sie verhalten sich wie eine Konstante.
Beispiel für einen Extrempunkt: f(x)=3ax²+4x
f '(x)=6ax+4
0=6ax+4 |T
(-4)/(6a)=x Da ist Deine Nullstelle.
Den Audruck setzt Du nun ganz normal in f(x) ein und multiplizierst das aus, dann erhältst Du die y-Koordinate Deines Nullpunktes.
P.S.: Dein Deutsch-LK kann Dir nicht 'entsprechend' leichter fallen, da Mathe und Deutsch jeweils Leistunkskurse sind, sich also auf dem gleichen Niveau befinden. Nicht übel nehmen, aber darauf hinzuweisen, dass man "wie man merkt" in einem Deutsch-LK sitzt und dann diesen Fehler zu machen, reizt zu blöden Kommentaren ;-)
Oh, dann entschuldige bitte meinen Kommentar. Oder gib ihn an Deinen Freund weiter ;)
Auch dir danke ich für die Antwort :). Aber wie unten schon gesagt, die Frage habe eigentlich gar nicht ich gestellt.