Hallo liebe Community,
ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme da nicht so recht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Gilt für alle n ≥ N die Ungleichung |a_n − 1/3 | < 0, 01?
Gegeben ist noch:
Zuvor hatte man noch folgende Aufgabe:
Für welche N ∈ |N gilt das erste Mal |aN − 1/3| < 0,01?
Da habe ich N = 19 raus.
Ich habe mir jetzt einfach intuitiv gedacht, dass die Aussage korrekt ist. Aber wie würde man das beweisen? Mein Ansatz wäre es jetzt gewesen erstmal zu zeigen, dass die gegebene Folge gegen 1/3 konvergiert. Das habe ich wie folgt gemacht:
Sei Epsilon > 0 beliebig.
|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| =
|2 / (3*3n+10)| = |2 / (9n+10)|
Okay ich habe erstmal a_n - 1/3 vereinfacht. Dann wollen wir ja, dass |a_n - 1/3| kleiner ist als Epsilon, also
2 / (9n+10) < Epsilon | * (9n+10)
<-> 2 < Epsilon * (9n+10) |Klammern auflösen
<-> 2 < 9*n*Epsilon + 10*Epsilon |-10*Epsilon
<-> 2-10*Epsilon < 9*n*Epsilon |:9*Epsilon
<-> (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) < n
Das heißt ja jetzt, dass sobald n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon), | a_n - 1/3| < Epsilon gilt. Jetzt muss ich ein N finden für das gilt, dass n>=N mit n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon). Und an dieser Stelle bin ich verwirrt. Im Skript wird das so gemacht, dass man nun einfach an das (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) eine 1 addiert und das dann auf die nächste natürliche Zahl aufrundet. Und das ist dann unser N. Aber es muss doch gelten N <= n und das ist dann doch nicht erfüllt, oder? Müsste man nicht eigentlich -1 dranhängen und abrunden?
Ich habe dann erstmal einfach weitergemacht mit dem N (also (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl). Und hier fängt dann ja erst der richtige Beweis an:
Sei N die Zahl (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl. Sei Epsilon > 0 beliebig.
N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1. Sei n >= N beliebig. Dann ist n >= N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1, also n > (2 - 10*Epsilon)/(9*Epsilon).
Hier bin ich wieder verwirrt, ich habe das so gemacht wie im Skript aber ist hier nicht auch ein Fehler?
n > (2-10Epsilon) / 9Epsilon | *9Epsilon
<-> n*9Epsilon > 2-10Epsilon | +10Epsilon
<-> n*9Epsilon*10Epsilon > 2 | Epsilon ausklammern
<-> (9n+10)Epsilon > 2 | :(9n+10)
<-> Epsilon > 2/(9n+10)
So jetzt schaue ich mir |a_n - 1/3| an.
|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| = |2 / (3*(3n+10))| = |2 / (9n + 30)|
daraus folgt:
|a_n - 1/3| < Epsiolon. Also ich glaube hier sind ein paar Sachen schief gelaufen. Auch wenn es eigentlich stimmen sollte, dass |a_n - 1/3| < Epsilon gilt.
So damit habe ich gezeigt, dass der Grenzwert 1/3 ist. Aus der vorherigen Aufgabe weiß ich, dass das kleinstmögliche n 19 ist. Das habe ich dann eingesetzt und gezeigt, dass |a_19 - 1/3| < 0,01 ist. Weil es gegen 1/3 konvergiert, wird der Abstand dann nur geringer habe ich mir gedacht. Wo sind hier meine Fehler? Was könnte ich besser machen?
Nein.