Was ist die Wahrscheinlichkeit mehr als 50% der 100 Fragen (je eine Antwort richtig bei 4 Möglichkeiten) einer Multiple Choice Prüfung richtig zu lösen?
4 Antworten
Du benötigst zunächst ein mathematisches Modell, mit dem Du die Rechnung durchführen kannst.
Dein Zufallsexperiment lautet ja: Ich beantworte eine Frage. Da es 4 Antwortvorgaben gibt, von denen 1 richtig ist, besteht pro Frage eine "Gewinn"wahrscheinlichkeit von 1/4 = 0,25, dass Du die Frage (zufällig) richtig beantwortest.
Dieses Experiment hast Du im Rahmen der Prüfung 100 mal durchzuführen.
Da es nur die Möglichkeiten "richtig" (mit p = 0,25) oder "falsch" (mit 1-p = 0,75) beantwortet gibt, handelt es sich um ein sog. Bernoulli-Experiment mit folgenden Parametern:
n = 100; p = 0,25; k > 50 (es müssen mehr als 50 Antworten richtig sein)
Die heutigen Taschenrechner verfügen meist über die Funktion BinomCDF (oder ähnlich). Die Eingabe könnte so aussehen: BinomCDF(100,0.25,51,100).
Dann addiert der TR alle Wahrscheinlichkeiten dafür auf, genau 51, 52, ..., 100 Fragen richtig zu beantworten.
Mein TR liefert als Ergebnis: P(X > 50) = 0,0000000213 = 0,00000213 %.
Da man durch reines Raten im Schitt nur 25 Fragen richtig beantwortet, ist dieses Ergebnis mehr als plausibel. Konsequenz: es wäre nicht schlecht, sich etwas auf die Prüfung vorzubereiten :-))
Die sogenannte Binomialverteilung ist eine Zufallsverteilung, die dann in Frage kommt, wenn es nur zwei Ausgänge mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten gibt.
Beispiel: Wurf einer Münze - wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 10 Würfen genau drei mal Zahl erscheint?
Hier gibt es 100 Fragen mit vier Antwortmöglichkeiten, von denen eine richtig ist und drei falsch sind.
Die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort liegt pro Frage bei 0,25 oder 25 %, die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort demnach bei 1-0,25 gleich 0,75 oder 75 %.
Wenn Du z.B. wissen willst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, von 100 Fragen 20 richtig zu beantworten, rechnest Du zunächst
0,25^20*0,75^80 (denn 20 richtige Antworten von 100 bedeutet 80 falsche).
Da sich die 20 richtigen Antworten beliebig unter den 100 verteilen können, mußt Du dies noch mit dem Binomialkoeffizienten 100 über 20 bzw. 100!/(20!*80!) multiplizieren, der angibt, auf wieviele unterschiedliche Arten sich 20 Elemente zwischen insgesamt 100 verteilen können.
Dieses Produkt (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) nennt sich auch Bernoullikette.
Bei Deiner Aufgabe geht es um die Wahrscheinlichkeit für mehr als 50 richtige Antworten.
Du ziehst dazu die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von k=0 bis k=50 (also für 0 bis 50 richtige Antworten) von der Gesamtwahrscheinlichkeit (0 bis 100 richtige Antworten) ab.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist natürlich 1, denn zwischen 0 und 100 richtige Antworten sind auf jeden Fall dabei.
Da Du sicher nicht jede Einzelwahrscheinlichkeit für k=0 bis k=50 bzw. k=51 bis k=100 berechnen möchtest, benutzt Du dafür entweder eine Tabelle oder Deinen Rechner.
Es gibt die Summenfunktion der Binomialverteilung, die automatisch von 0 bis k alle Einzelwahrscheinlichkeiten aufsummiert.
Du benötigst dafür die Kenngrößen n, k und p.
n=100 (Anzahl der Fragen), k=50 (Anzahl der richtigen Antworten, bis zu der aufsummiert werden soll), p=0,25 (Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort.
Für diese Größen bekommst Du als Ergebnis 0,999 999 978 7 heraus, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Du 0 bis 50 richtige Antworten hast.
Da Du die Wahrscheinlichkeit für 51 bis 100 richtige Antworten suchst, ziehst Du dieses Ergebnis von 1 (also der Wahrscheinlichkeit für 0 bis 100 richtige Antworten) ab und kommst so auf 0,000 000 02131
Willy
Tolle Antwort Willy, danke. Gar nicht so kompliziert, wenn man es so betrachtet ;-)
Pro Frage 25% , unabhängige Wahrscheinlichkeit, hoch 50
0.25^50 ist so unwahrscheinlich, dass du ehrlich gesagt nur auf glück hoffen kannst ...Oder lernst. Eins von beidem.
Hallo,
(100 über 50)*0,25^50*0,75^50=4,507*10^(-8) oder 0,000004507 % für genau 50 % richtige Antworten.
Für mehr als 50 richtige Antworten liegt die Wahrscheinlichkeit bei 2,131*10^(-8)
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn Du einen Rechner oder Tabellen mit den Werten für die kumulative Binomialdichte hast, rechnest Du 1-Summe (k=0 bis k=50): (100 über k)*0,25^k*0,75^(100-k)
100 ^ 4
Somit sehr unwarscheinlich. Und das schon, wenn NUR 1 Antwort richtig ist.
Kannst du mir das vllt in einfacheren worten per pn erklären? Ich bin gerade dabei den Stoff der EF zu wiederholen und obwohl ich eine 2+ in Mathe hatte, hatte ich hierbei einen unvollständigen Lösungsweg.
Das wäre wirklich nett :-D
LG rainboxdash