Was ist die Scheitelpunktform von f(x) = x² + 5x?
Ich habe es sowohl logisch im Kopf als auch ausführlich mit der quadr. Ergänzung versucht. In beiden Fällen kam ich damit auf
f(x) = (x+2,5)²
Doch das ergibt wieder gar keinen Sinn. Denn wenn man das ausmultipliziert, würde ja noch am Ende + 2,5², also +6,25 stehen.
Demnach müsste die bin. Formel ja f(x) = (x-0)² sein. Das wäre aber erstens total sinnlos, zweitens würde man dann nicht auf 5x kommen.
Habe ich gerade voll den Denkfehler oder was? Das ist eine Aufgabe aus einer Klassenarbeit!
4 Antworten
1. Methode: Quadratische Ergänzung
f(x)
= x² + 5 x
= x² + 2 * 2,5 * x
= x² + 2 * 2,5 * x + 2,5² - 2,5²
= (x + 2,5)² - 2,5²
= (x + 2,5)² - 6,25
2. Methode: Stelle des Scheitels über Nullstellen bestimmen
Man kann relativ leicht die Nullstellen ablesen:
f(x) = x² + 5 x = x * (x + 5)
Die Nullstellen sind bei x = 0 und bei x = - 5.
Die Stelle für den Scheitelpunkt liegt bei einer quadratischen Funktion in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei x = (0 + (-5)) / 2 = - 2,5
Für die y-Koordinate des Scheitelpunkts kann man die Stelle x = - 2,5 nun in die Funktionsgleichung einsetzen: f(- 2,5) = (- 2,5)² + 5 * (- 2,5) = 6,25 - 12,5 = 6,25
Der Scheitelpunkt liegt also bei (- 2,5 | - 6,25)
Der Öffnungsfaktor beträgt a = 1. Diesen kann man an der Funktionsgleichung erkennen:
f(x) = x² + 5 x = 1 x² + 5 x
Damit erhält man:
f(x) = 1 * (x - (-2,5))² + 6,25
bzw.
f(x) = (x + 2,5)² - 6,25
als Scheitelform.
Ich war einfach nur zu beschränkt, darauf zu kommen, dass man die Zahl, die durch die bin. Formel noch am Ende stehen müsste (quasi das b²), einfach wieder nach der Klammer abziehen kann.
Ich konnte mir keinen Reim darauf machen, weil hinten an der Normalform keine Zahl dran stand, aber wusste, dass dort 6,25 stehen müssen.
Jetzt hab ich es schon verstanden. Vielen Dank!
ax² + bx + c ist ja die allgemeine Form einer quadratischen Funktion.
Jetzt willst du ja einen Ausdruck der Form (x + d)² + e erhalten. Das ist dann = x² + 2dx + d² + e
Wenn du jetzt beide Gleichungen vergleichst, siehst, dass bx = 2dx ist. Damit ist ersichtlich, dass d = b/2 ist. Außerdem siehst du noch, dass c = 0 ist, weswegen d² + e = 0. Damit erhältst du dann d² = -e <=> (b/2)² = -eDein Scheitelpunkt ist dann also (x + b/2)² - b²/4
b = 5 => (x + 5/2)² - 25/4 = (x + 2,5)² - 6.25
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :-)
JTR
f(x)=x²+5x=x²+5x+6,25-6,25=(x+2,5)²-6,25
Scheitelpunktform : a*( x-d) ^2 + e . Du hast es schon richtig gemacht : ( x-2,5)^2 - 6,25 --> S ( 2,5 / -6,25 )
Gott bin ich dumm.... -.- :D
Ja, das macht natürlich Sinn.
Vielen Dank.