Was ist der Unterschied zwischen einem Satz, Theorem, Lemma, einer Definition und einem Axiom (Mathe)?
2 Antworten
Ein Axiom ist ein intuitiv erkannter Grundsatz, der keinen Beweis benötigt. Ein Beispiel für ein Axiom wäre der 0.Hauptsatz der Thermodynamik oder die Newton‘schen Axiome.
Ein Theorem ist aus mehreren Axiomen gewonnener Satz.
Ein Satz ist eine Aussage, die sauber bewiesen wurde. Ein bekanntes Beispiel ist natürlich der Satz des Pythagoras: Es wurde nicht nur intuitiv aufgeschrieben, sondern auch sauber mathematisch bewiesen.
Ein Korollar ist ein Satz, der aus einem bewiesenen Satz folgt. Ein Beispiel dafür wäre die partielle Integration, die aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt.
Ein Lemma ist eine Annahme, die im Beweis eines Satzes verwendet wird.
Ok, beim Lemma war ich mir am unsichersten. Das Wort „Hilfssatz“ wollte ich nicht verwenden, weil ich es mit eigenen Worten beschreiben wollte. Aber eine nackte Annahme ist das auch nicht, das stimmt.
Lemma < Satz < Theorem (ansonsten, abgesehen von der "Wichtigkeit", alles das selbe).
Eine Definition ist genau das: Festlegung von Begrifflichkeiten. Nach dem Motto den Sachverhalt xy nennen wir ab sofort "z".
Ein Axiom ist eine ganz elementare Grundbehauptung, die keine tiefergehende "Rechtfertigung" oder Belege hat. Man sagt einfach isso (weil es mehr oder minder gut funktioniert). Willkür, wenn auch mit Bedacht. Darauf bauen alle anderen Sätze etc. dann auf.
Stimmt soweit, aber Theorem ist einfach nur das englische Wort für Satz. "Höher" als Satz ist wohl nur der Hauptsatz/Fundamentalsatz.
Bei uns wurde "Theorem" immer mit "Hauptsatz" identifiziert. Aber kann ja jeder nennen wie er will. Letztlich ist es das selbe: Ein "Satz": ;)
Lassen wir doch ein universitäres PDF sprechen:
Manche AutorInnen verwenden generell den Ausdruck Theorem, um Sätze zu bezeichnen; andere drücken damit eine Wichtigkeitsabstufung aus: Ein Theorem ist ein besonders bedeutender Satz.
Das stimmt so nicht ganz. Ein Lemma ist wie ein Satz oder Theorem auch eine bewiesene Aussage, nur dass ein Lemma kein Selbstzweck ist, sondern eine in einem anderen Beweis verwendete Hilfsaussage, deren Beweis sozusagen als Lemma "ausgelagert" wurde.