Was hindert ein masseloses Teilchen daran, schneller als das Licht zu sein?
Masselose Teilchen können ja offensichtlich Lichtgeschwindigkeit erreichen (siehe Photonen). Könnte es vielleicht auch (noch unbekannte) Teilchen geben, deren Eigenschaft (natürliche Ausbreitungsgeschwindigkeit) derart ist, schneller als das Licht zu sein? Woher kommt diese kategorische Geschwindigkeitsbegrenzung auf die Lichtgeschwindigkeit? Ist sie Schlussfolgerung aus oder Annahme der Relativitätstheorie? Und wenn sie Annahme ist, könnte die Annahme nicht einfach auch falsch sein?
13 Antworten
Man kann in TeilchenBeschleunigern Teilchen sehr viel Energie zuführen, mehr als nach der Mechanik von Newton notwendig wäre um Lichtgeschwindigkeit zu erreichen. Allerdings erreicht man sie nicht, obwohl die Teilchen die Energie aufnehmen.
Nach Theorie und auch im Experiment führt die EnergieZufuhr zu einer ImpulsErhöhung, aber kaum noch zu einer GeschwindigkeitsErhöhung. Da der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist, interpretiert man den Anstieg des Impulses vereinfacht als Massenzuwachs.
Wenn jetzt aber die Teilchenmasse immer ansteigt, wird es immer schwerer die Geschwindigkeit zu steigern, bei der man sich aber sowieso der Lichtgeschwindigkeit nur immer weiter annähert.
Natürlich kann die Annahme falsch sein. Allerdings ist es vielleicht die am besten durch Messung bestätige Annahme der modernen Physik.
Du kannst durch Messungen nicht beweisen, dass c eine Grenze darstellt. Dies folgt aus der Anwendung von GALILEIs Relativitätsprinzip auf MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik.
Naja, tatsächlich wurde die Lichtgeschwindigkeit noch nie direkt gemessen.
Hallo zzzZZZ111222,
die Formulierung...
Masselose Teilchen können ja offensichtlich Lichtgeschwindigkeit erreichen...
...ist nicht ganz richtig: Sie können gar kein anderes Tempo haben.
Woher kommt diese kategorische Geschwindigkeitsbegrenzung auf die Lichtgeschwindigkeit? Ist sie Schlussfolgerung aus oder Annahme der Relativitätstheorie?
Ja, sie sind Schlussfolgerungen aus der Speziellen Relativitätstheorie (SRT).
Das Lichttempo c ist Bestandteil von Naturgesetzen (=grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen), nämlich MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik. Damit unterliegt es GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) und ist daher invariant (unveränderlich) unter einem Wechsel des Bezugssystems: Was sich relativ zu einem Körper mit c bewegt, das bewegt sich relativ zu jedem Körper mit c.
Dies ist die Grundlage der SRT. Sie ist lässt sich als Geometrie der Raumzeit auffassen.
Dabei geht es um Abstände zwischen Ereignissen im Verhältnis zu Koordinatendifferenzen. In einem von einer Bezugsuhr U aus definierten Koordinatensystem Σ ist eine Koordinatendifferenz die von U aus ermittelte Zeitspanne Δt, die Σ- Koordinatenzeit. Die übrigen sind die räumlichen Koordinatendifferenzen Δx, Δy und Δz. Der räumliche Abstand Δs zwischen den Orten der Ereignisse in Σ ist durch die EUKLIDische Metrik
(1) Δs² = Δx² + Δy² + Δz²
gegeben und hängt im Gegensatz zu Δx, Δy und Δz nicht von der Orientierung von Σ ab. Allerdings wird der Abstand Δs' in Bezug auf eine relativ zu U bewegte Uhr U' ein ganz anderer sein.
Wenn es eine Uhr Ώ gibt, in Bezug zwei Ereignisse gleichortig sind, heißen sie zeitartig getrennt. Die von Ώ selbst gemessene Zeitspanne Δτ heißt die Eigenzeit. In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist sie gleich Δt, in der SRT ist sie jedoch durch die MINKOWSKI- Metrik
(2.1) Δτ² = Δt² − Δs²⁄c² ≡ Δt' − Δs'²⁄c²
gegeben. Sie ist 0 für Ereignisse, für die Δs = cΔt ist; solche Paare von Ereignissen werden lichtartig getrennt genannt.
Bei Ereignissen mit Δs > cΔt müsste Δτ rechnerisch imaginär, das heißt, dass das Quadrat negativ ist. Hier ist es sinnvoll, die Gleichung umzudrehen:
(2.2) Δς² = Δs² − c²Δt² ≡ Δs² − c²Δt²
Dabei ist Δς der räumliche Abstand der Ereignisse in einem Koordinatensystem, in dem sie gleichzeitig sind. Solche Ereignisse heißen raumartig getrennt.
Abb. 1: Vergleich zweier Salamis mit zwei gleichartigen Vorgängen in begrenzten Raumbereichen
Tachyonen und zeitliche OrdnungKönnte es vielleicht auch (noch unbekannte) Teilchen geben, deren Eigenschaft (natürliche Ausbreitungsgeschwindigkeit) derart ist, schneller als das Licht zu sein?
Die SRT erlaubt theoretisch Tachyonen; solche Teilchen könnten dann nur mit Überlichtgeschwindigkeit unterwegs sein und hätten bei unendlicher Geschwindigkeit ihre kleinste Energie. In einem Koordinatensystem, in dem sie unendlich schnell sind, würden sie jedoch auch nur zu diesem Zeitpunkt existieren.
Allerdings könnten sie dann keine innere zeitliche Ordnung haben, denn raumartig getrennte Ereignisse haben keine feste zeitliche Reihenfolge.
Abb. 2: Die grüne Linie könnte die Weltlinie eines Tachyons sein. Die Richtung, in die es sich bewegte, wäre vom Koordinatensystem abhängig.
In Eigenzeit beliebig schnellIm Unterschied zu Δs⁄Δt kann Δs⁄Δτ beliebig groß sein, d.h., Du kannst relativ zu U theoretisch eine beliebig lange Strecke in beliebig kurzer Eigenzeit zurücklegen. Übrigens ist Δs⁄Δτ Dein spezifischer Impuls bzw. dessen Betrag.
Allerdings legst Du dabei zwangsläufig auch immer größere zeitliche Entfernung zurück, d.h., Δt⁄Δτ wird größer, Deine spezifische Energie. Es ist ja nach (2.1) auch
(3.1) (Δt⁄Δτ)² − (Δs⁄cΔτ)² = 1,
was mit der relativistischen Energie- Impuls- Beziehung
(3.2) E²⁄c² − p² = E₀²⁄c²
korrespondiert. Dabei ist E₀ = mc² die Ruheenergie eines Körpers der Masse m und E = E₀ + Eₖ die Summe aus ihr und seiner kinetischen Energie. (3.2) lässt sich als MINKOWSKI- Betrag des raumzeitlichen Impulses oder Viererimpulses auffassen.
Abb. 3: Viererimpuls und seine Komponenten
In den Maxwell Gleichungen findest du eine konstante mit der Dimension Geschwindigkeit. Also schon in den Gesetzen der Elektrodynamik steckt die Lichtgeschwindigkeit. Damals wusste man nicht das das "c" in den Maxwell Gleichungen die Lichtgeschwindigkeit ist. Aber aus dem Studium der Elektrodynamik gehen die ersten Hinweise hervor daß es eine konstante Geschwindigkeit im Universum gibt.
Invarianz bekommst du durch das Galilei'sche Relativitätsprinzip geschenkt, da c in einem Naturgesetz vorkommt.
Die Obergrenze kann man damit nicht erklären, ist aber auch eine Annahme die wir Menschen machen mussten, das heißt nicht erklärbar, aber hat sich im Versuch bestätigt.
Invarianz bekommst du durch das Galilei'sche Relativitätsprinzip geschenkt, da c in einem Naturgesetz vorkommt.
Das schreibe ich auch immer.
Die Obergrenze kann man damit nicht erklären,...
Doch. Es ist nur etwas aufwändiger: Aus der Invarianz von c folgt die MINKOWSKI- Metrik, und damit wird c zu etwas, das Zeit und Raum einerseits verbindet und andererseits trennt: für Ereignisse mit Δs < cΔt (Δs ist der räumliche Abstand und Δt der zeitliche in einem gegebenen Koordinatensystem) ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen eine Zeit, die Eigenzeit
Δτ = √{Δt² − Δs²⁄c²},
für Δs > cΔt ist er ein räumlicher Abstand, der Gleichzeitigkeitsabstand
Δς = √{Δs² − cΔt²}.
Kannst du mir erklàren wieso aus der invarianz die Minkowski metrik folgt?
Aus der invarianz von c folgt doch, das ich aus beliebigen Bezugssystemen c immer gleich Messe.
D.h. ich veränder Geschwindigkeits Addition zwischen Bezugssystemen genau so, dass c invariant ist.
Wer sagt mir das diese neue Addition auch für andere Objekte gilt?, Muss ich das nicht annehmen?
Aus der invarianz von c folgt doch, das ich aus beliebigen Bezugssystemen c immer gleich Messe.
Richtig. Und das ist mit der MINKOWSKI- Metrik der Fall.
Wenn U und U' zwei relativ zueinander bewegte Uhren sind, von denen aus zwei Koordinatensysteme (mit der jeweiligen Weltlinie als Zeitachse) definiert sind, ist
Δτ² = Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)⁄c² ≡ Δt'² − (Δx'² + Δy'² + Δz'²)⁄c²,
d.h., wenn linke Seite 0 ist, also
Δx² + Δy² + Δz² = c²Δt²,
dann ist auch die rechte Seite 0, d.h.,
Δx'² + Δy'² + Δz'² = c²Δt'².
D.h. ich veränder Geschwindigkeits Addition zwischen Bezugssystemen genau so, dass c invariant ist.
Das ist übrigens das Additionstheorem für den Tangens Hyperbolicus. Es gibt in der Raumzeit eine winkelartige Größe namens Rapidität, deren Tangens Hyperbolicus v/c ist.
Wer sagt mir das diese neue Addition auch für andere Objekte gilt?
Es gibt nicht extra Naturgesetze für verschiedene Objekte, denn Naturgesetze sind grundlegende Beziehungen zwischen physikalischen Größen, und vielfach ist es einfach Geometrie, und die ist für alle Objekte identisch.
Schon klar das die Minkowski metrik die gewünschten Eigenschaften erfüllt. Trotzdem brauchst du erstmal Argumente wieso gewisse Eigenschaften erfüllt werden müssen/sollten.
Das Problem ist so ein bisschen das du innerhalb der Theorie versuchst zu zeigen, wieso diese gilt. Da ist c doch schon als Obergrenze gesetzt, klar wirst du da zeigen können, dass c die Obergrenze ist.
Natürlich wird das alles stimmen, ist ja schon lange vielfach getestet worden. Mir geht es aber um die Herleitung, um die Vorraussetzungen wieso du gewisse Mathematische Modelle nutzen darfst. Und ich glaube halt das c als Obergrenze angenommen werden musste.
Das Problem ist so ein bisschen das du innerhalb der Theorie versuchst zu zeigen, wieso diese gilt.
Das sieht auf den ersten Blick so aus, aber mit etwas Aufwand kann man aus der Forderung, dass c invariant ist, die MINKOWSKI- Metrik herleiten.
Da ist c doch schon als Obergrenze gesetzt, ...
Nein. Die Prämisse lautet, wie gesagt, dass c invariant ist. Das heißt, was sich relativ zu einem Körper B mit c bewegt, das bewegt sich auch relativ zu einem relativ zu B mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Körper B' mit c und umgekehrt.
Von einer Obergrenze ist an dieser Stelle noch nicht die Rede.
Mir geht es aber um die Herleitung, um die Voraussetzungen wieso du gewisse mathematische Modelle nutzen darfst.
Nicht nur darfst, sondern sogar musst. Grundvoraussetzung ist GALILEIs Relativitätsprinzip (RP): Die Situation zwischen zwei relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Körpern B und B' ist symmetrisch.
Dabei sind Koordinatendifferenzen in Σ' lineare Funktionen der Koordinatendifferenzen in Σ und umgekehrt.
Somit sind auch etwa (cΔt' − Δx') und (cΔt − Δx) lineare Funktionen voneinander, und dasselbe gilt für (cΔt' + Δx') und (cΔt + Δx).
Wegen der Symmetrie steht dabei (cΔt + Δx) im selben Verhältnis zu (cΔt' + Δx') wie (cΔt' − Δx') zu (cΔt − Δx).
Wegen der Invarianz des Lichttempos c ist (cΔt' − Δx') genau dann 0, wenn auch (cΔt − Δx) gleich 0 ist, und (cΔt' + Δx') ist gleich 0, wenn auch (cΔt' + Δx') gleich 0 ist.
Deshalb ist (cΔt' − Δx') proportional zu (cΔt − Δx), und man kann
(1) (cΔt' − Δx') = λ(cΔt − Δx)
schreiben. Ebenso ist wegen der Symmetrie auch
(2.1) (cΔt + Δx) = λ(cΔt' + Δx')
und damit
(2.2) (cΔt' + Δx') = (1/λ)(cΔt + Δx)
Wenn wir annehmen, dass die Bewegungsrichtung von B und B' relativ zueinander die +x- bzw. die −x'-Richtung ist (was wir oben nicht vorausgesetzt haben), ist
(3) λ = K := √{(c + v)/(c − v)},
und durch Addition und Subtraktion von (2.2) zu (1) lässt sich die LORENTZ- Transformation herleiten.
Hier multiplizieren wir (1) und (2.2) stattdessen:
(4.1) (cΔt' − Δx')(cΔt' + Δx') = (λ⁄λ)(cΔt − Δx)(cΔt + Δx),
und die 3. Binomische Formel liefert
(4.2) c²Δt'² − Δx'² = c²Δt² − Δx².
Das ist schon mal die MINKOWSKI- Metrik für die x- Richtung, und aus Gründen der Drehsymmetrie folgt daraus die MINKOWSKI- Metrik in 3D.
Photonen sind nicht Masselos. Sie haben lediglich keine Ruhemasse (siehe spezielle Relativitätstheorie), das ist ein feiner unterschied. Das erkennt man daran, dass Licht gegen der Gravitation anarbeiten muss um das Gravitationsfeld zu verlassen, erkennbar über die Frequenz:
E=h*f
Als die Masse eines Teilchens definiert man heute nur noch seine Ruheenergie (geteilt durch c²), auch weil die Einbeziehung der kinetischen Energie in die "relativistische Masse" unter der Definition über die Trägheit zur Unterscheidung zwischen "Quer-" und "Längsmasse" führen würde.
Aus der Relativitätstheorie kennen wir die Ruhemasse m0 und die dynamische Masse m eines Körpers. Sie hängen auf folgende Weise zusammen:
m0=m*√(1-v^2/c^2)
Die Geschwindigkeit eines Photons ist die Lichtgeschwindigkeit wir setzen also v=c und erhalten:
m0=m*√(1-C^2/C^2)=0
Photonen haben also keine Ruhemasse, sie können sich in keinem Bezugssystem in Ruhe befinden.
Allerdings besitzt jedes Photon eine bestimmte Energie. Nach der Masse Energie-Äquivalenz E=m*c^2 wird deswegen seine dynamische Masse m von Null unterschiedlich sein. Wir setzen E=h*f und E=m*c^2 gleich:
E=m*c^2=h*f
und lösen nach m auf:
m=h*f/c^2
Diese Masse bewirkt, dass Photonen von Gravitationsfeldern abgelenkt und dabei Energie verlieren oder gewinnen können. Derartige Phänomene werden heutzutage experimentell bestätigt.
Auf mehr wollte ich in meiner Antwort nicht hinaus.
Ich weiß, dass ein Photon mit seiner Energie auch so etwas wie eine effektive Masse hat, die Impulsmasse. Allerdings ist diese keine Eigenschaft des Photons, sondern nur eine (vom Bezugsssystem abhängige) Zustandsgröße.
Die Masse der NEWTONschen Mechanik (NM) ist eine Körper- oder Teilcheneigenschaft, und dies ist in der SRT das, was Sie im Einklang mit dem ursprünglichen (in der Schule noch immer gelehrten) Wording die Ruhemasse nennen.
(1) m₀γ := m₀/√{1 − ‹v∙v›⁄c²}
heißt deshalb auch Impulsmasse, weil sie der Proportionalitätsfaktor zwischen Geschwindigkeit und Impuls ist:
(2.1) p› = m₀∙γ∙v›
Das kann man als
(2.2) p› = (m₀∙γ)∙v› =: mᵥ∙v›
lesen.
Allerdings tritt m₀∙γ als Träge Masse (Proportionalitätsfaktor zwischen Beschleunigung und Kraft) nur bei Beschleunigung senkrecht zur aktuellen Bewegungsrichtung in Erscheinung. Bei Beschleunigung in oder gegen die aktuelle Richtung ist die Träge Masse jedoch
m₀∙γ³ = mᵥ∙γ²,
und so gesehen hätte ein Photon eine unendliche Längsmasse. In gewisser Weise könnte man das bejahen, da man sein Tempo nicht ändern kann, aber wenn ein Photon reflektiert wird, ändert sich seine Geschwindigkeit drastisch und überträgt dabei keine unendliche Kraft.
Außerdem ist es sinnvoll, möglichst vieles durch durch invariante Größen auszudrücken. Aus beiden Gründen liest man (2.1) heutzutage als
(2.3) p› = m₀∙(γ∙v›)
lesen, wobei
(3.1) γ∙v› = (dx | dy | dz)/dτ
(nicht (...)/dt!) im Englischen als proper velocity ("Eigen-Geschschwindigkeit") bezeichnet wird; es ist der räumliche Teil der raumzeitlichen Geschwindigkeit oder Vierergeschwindigkeit.
(3.2) (γ∙c | γ∙v›) = (γ∙c | γ∙vx | γ∙vy | γ∙vz) = (c∙dt | dx | dy | dz)/dτ
Diese mit der Ruhemasse multipliziert ergibt den raumzeitlichen Impuls oder Viererimpuls
(4.1) (E⁄c | p›) = (E⁄c | px | py | pz)
mit dem MINKOWSKI- Betrag
(4.2) √{(E⁄c)² − ‹p∙p›} = E₀⁄c = m₀c.
Ja, aber jetzt muss man noch aus der Konstanz die Invarianz von c erschließen und aus ihr die Tatsache, dass c eine Obergrenze darstellt.