Was bedeutet das?
1 Antwort
Das ist der Anfang der Ordinalzahlreihe.
https://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl
https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=reellezahlen_2_Intermezzo:_Z3
Am Anfang stehen die natürlichen Zahlen (einschl. 0) - hier stimmen Ordinalzahlen und Kardinalzahlen überein.
Das "Limeselement" der natürlichen Zahlen ist die kleinste "transfinite" Zahl, als Kardinalzahl "aleph-0" genannt (das Symbol oberhalb des senkrechten Striches), als Ordinalzahl "omega" genannt.
Nach omega folgen als weitere Ordinalzahlen omega+1, omega+2, ..., also im Wesentlichen eine verschobene Kopie der natürlichen Zahlen.
Das nächste Limeselement ist omega*2, danach folgt wieder eine Kopie der natürlichen Zahlen - das ist im Bild aber nicht mehr dargestellt, ebenso wenig omega*3, ..., omega^2, ...
Kardinalzahl: Mächtigkeit einer Menge
Ordinalzahl: Position eines Elements in einer "Abzählung" der Menge
Endliche Mengen kann man nicht auf mehrere wesentlich verschiedene Weisen anordnen - irgendein Element muss das erste sein, ein anderes das zweite, usw., bis man zu einem letzen Element kommt.
Unendliche Mengen kann man aber auf mehrere wesentlich verschiedene Weisen anordnen. Zum Beispiel kann man die natürlichen Zahlen "natürlich" anordnen - also nach Größe sortiert -, dann steht jede Zahl an der Stelle, die durch den Nachfolger ebendieser Zahl bezeichnet wird (*). Man kann die Zahlen aber auch untereinander vertauschen - dann stehen einige Zahlen an Stellen, die durch andere Zahlen als ihren Nachfolger bezeichnet werden. Alle diese Anordnungen entspreichen der Ordinalzahl omega ("repräsentieren" omega / sind "Repräsentanten" von omega).
(*) für den Anfang stell dir vor, dass jede natürliche Zahl an der Stelle steht, die durch sie selbst bezeichnet wird. Man nimmt aber den Nachfolger, um (a) auch den leeren Bereich behandeln zu können und (b) in der Theorie der Ordinalzahlen die Formulierungen einfacher halten zu können.
Aber man kann z. B. auch bei der 1 anfangen statt bei der 0:
1, 2, 3, 4, ...
und dann sagen, dass die 0 in der Reihenfolge nach jeder andern natürlichen Zahl kommen soll.
Dann haben wir erst einmal die Anordnung omega, und danach noch ein weiteres Element; diese Anordnung nennt man "omega+1".
Ebenso können wir auch mit der 2 anfangen und 0 und 1 oben anhängen - das ergibt omega+2, oder mit der 3 für omega+3 etc.
Wir können auch erst die ungeraden Zahlen auflisten und danach die geraden Zahlen, das ergibt omega*2. (Es kommt hier tatsächlich auf die Reihenfolge der Multiplikation an; warum man diese gewählt hat und nicht 2*omega, erschließt sich mir auch nicht so ganz.)
Die Anzahl der wesentlich verschiedenen Anordnungen der natürlichen Zahlen ist die kleinste Kardinalzahl größer als aleph-0 und heißt aleph-1; ab hier wird es zunehmend schwieriger, sich überhaupt noch etwas vorzustellen.
Noch eine Bemerkung: Die "Klasse" der Ordinalzahlen ist keine "Menge" mehr - sie enthält echt mehr Elemente, als eine Menge enthalten kann. Lasst alle Hoffnung auf Vorstellbarkeit fahren, die ihr in Unendlichkeiten von Unendlichkeiten eintretet. Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti-Paradoxon