Warum sind Perioden zahlen auch rationale Zahlen (Q) wenn sie doch unendlich viele nachkommastellen haben?
Da steht endliche nachkommastellen also das es irgendwann aufhört aber seit wann hört zb 3,33 Periode irgendwann auf?
Mit freundlichen Grüßen
10 Antworten
Hätte der Autor das kleine Wörtchen "oder" verwendet, wäre alles klar gewesen. Da in der nächsten Zeile "unendliche Nachkommastellen" steht, könnte man das als Gegensatz auffassen. Tatsächlich ist "unendliche Nachkommastellen" als alleiniges Kriterium für reelle Zahlen falsch, denn die rationalen, ganzen und natürlichen Zahlen sind ebenfalls reelle Zahlen, ohne unendlich viele Nchkommastellen zu haben. In der Auflistung ist jede Zahlenmenge in den danach aufgeführten Zahlenmengen enthalten.
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die man als Bruch darstellen kann. Punkt. Mehr braucht man nicht. Das beinhaltet abbrechende ebenso wie periodische, nicht abbrechende Dezimalbrüche.
Wurzel 2 kann man nicht als Bruch darstellen, daher ist es keine rationale Zahl.
Rationale Zahlen sind alle Zahlen die sich mit einem Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen.
Jede Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen und jede Zahl mit unendlich langer aber Periodischer Zahl ist damit Rational.
Endliche DezimalzahlenVom ersten Punkt kann man sich leicht überzeugen.
Nehm wir zB 1.34, dann kann ich das Darstellen als: 134/100
Periodische DezimalzahlenDer zweite Punkt folgt aus folgender Überlegung:
Eine Zahl wie zB 0.34343434.... periodisch kann man darstellen als:
Summe von n = 0 bis n = unendlich [0.34 * (1/100)^n]
Von dieser Darstellung kann man sich leicht überzeugen wenn man das für ein paar n berechnet:
n = 0:
0.34
n = 1:
0.34/100 = 0.0034
n = 2:
0.34/10000 = 0.000034
usw.
Die Summe aller dieser Zahlen ergibt also offensichtlich 0.343434.... also unsere Periodische Zahl.
Die oben beschriebene Summe ist bekannt als geometrische Reihe.
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Der Endwert unserer Reihe ist in unserem Beispiel also: 0.34/(1-1/100) = 0.34/(99/100) = 34/99
Wir haben also diese Periodische Dezimalzahl als Bruch dargestellt und damit gezeigt dass sie Rational ist.
Wenn man sich dieses Verfahren ansieht merkt man schnell, dass das für alle periodischen Dezimalzahlen funktioniert, wodurch bewiesen ist, dass auch alle periodischen Dezimalzahlen rational sind.
Weil du jede Dezimalzahl mit periodischen Nachkommastellen als normalen Bruch darstellen kannst. Und Brüche sind nun mal rationale Zahlen, also Q.
Wurzel 2 ist irrational und gehört nicht zu Q. Es gibt da keine sich wiederholenden Nachkommastellen, genau so wie bei pi nicht und der Eulerschen Zahl e.
Asoo ja ich hab eigentlich die Periode gemeint egal Danke bb
Nein, 10/3 ist nicht 3,33, den 10/3 ist 3,3333333333333 (Periode, nie endend), das ist etwas anderes als 3,33.
Nein, 10/3 sind 3,[3]. Das '[…]' soll hier 'Periode' heißen, der Querbalken, den ich mit Hilfe der griechischen Tastatur erzeugen könnte, ist nicht sichtbar genug.
Ich nehme an, der Verfasser des Skripts meinte das alternativ: Entweder endliche Nachkommastellen oder (unendliche) Periode.
Rationale Zahlen lassen sich immer durch einen Bruch darstellen. So wie 1/4 (endliche Nachkommastellen) oder 1/3 (Periode).
3,33 Periode hört nie auf, das ist aber auch egal, weil sich eine rationale Zahl nicht dadurch definiert.
Aber sie definiert sich nicht dadurch! 🤣 verstanden? XD
Ok dann 10/3