Warum mussen die Diagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix Null sein?
Warum mussen die Diagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix Null sein?
4 Antworten
Eine Schiefsymmetrische Matrix hat die Eigenschaft dass die Transponierte gleich der negativen Matrix ist.
Die Transponierte einer Matrix erzeugt man durch Spiegelung an der Diagonalen, das bedeutet die Diagonalelemente einer Matrix und der Transponierten sind gleich.
Bei einer Schiefsymmetrischen müssten sich die Vorzeichen der Diagonalelemente beim Transponieren ändern, weil das aber, wegen oben genannten, nicht möglich ist müssen die Diagonalelemente 0 sein.
0 ist eben die einzige relle Zahl mit der Eigenschaft -0 = 0
Dies muss nicht sein.
Aufgrund der Schiefsymmetrie-Bedingung gilt für ein Diagonalelement d:
-d=d
In Körpern mit Charakteristik ungleich 2 folgt daraus, dass d=0 ist.
Wenn man jedoch einen Körper mit Charakteristik 2 betrachtet, so ist -d=d für jedes Element d des Körpers erfüllt. In diesem Fall ist dann Schiefsymmetrie das Gleiche wie Symmetrie.
Man kann auch allgemeiner Matrizen über einem Ring mit 2 als Nullteiler betrachten. Da ist dies auch nicht erfüllt. So ist beispielsweise 2*3=0 in Z/6Z, so dass wegen -3=3 auch eine 3 auf der Diagonalen stehen kann.
Weil für die Diagonaleinträge gelten muss: M_ii = - M_ii und das ist nur für M_ii = 0 erfüllt.
(Allgemein gilt für die Einträge einer schiefsymmetrischen Matrix M_ij = - M_ji, woraus für i=j obiges folgt.)
Ich habe nur eine primitive Antwort für dich, sorry.
Sobald auch nur ein einziges Matrixelement entlang der Links-Rechts-Diagonalen einer schiefsymmetrischen Matrix nicht nullbesetzt ist, dann entspricht die Transponierte dieser Matrix nicht mehr dem negativen ihrer Transponierten, das kann man auch konkret ausprobieren und wird es dann merken.
Die schiefsymmetrische Matrix hört also in diesem Falle auf eine schiefsymmetrische Matrix zu sein, weil die schiefsymmetrische Matrix so definiert ist, dass ihre Transponierte das negative dieser schiefsymmetrischen Matrix ist.
Warum das ganz genau so ist, muss mit der Art und Weise zu tun haben, wie sich die Transponierte errechnet.
Alles Klar Danke!