Warum müssen denn Zähler und Nenner teilerfremd sein, bei dem Beweis dass wurzel2 irrational ist?

Naja, sonst funktioniert der Beweis ja nicht.

Du sagst "teilerfremd" als Voraussetzung, und wenn du dann noch annimmst, dass Wurzel aus zwei rational ist, führt das halt zu Widerspruch, da Zähler und Nenner durch zwei teilbar sein müssen.

Wären Zähler und Nenner nicht teilerfremd, dann könnte man den Bruch eben soweit wie möglich kürzen und hätte dann wieder einen Bruch mit Teilerfremdheit. Also setzt man einfach voraus, dass diese Teilerfremdheit von Anfang an besteht, weil man sie eh immer "erzwingen" kann.