Warum ist eine gerade Quadratzahl immer durch 4 teilbar?
Hii❤️ Ich frage mich 2 Dinge:
1.Warum ist eine Gerade Quadratzahl immer durch 4 teilbar?
2.Warum ist es so,dass wenn man eine ungerade Quadratzahl durch 4 teilt,der Rest 1 ist?
Danke für eure Antworten
Apple Jack
2 Antworten
Hallo,
eine gerade Zahl kannst Du als 2n ausdrücken.
Dann ist eine gerade Quadratzahl gleich 2n*2n=4n² und damit ein Vielfaches von 4.
Eine ungerade Zahl ist 2n-1, eine ungerade Quadratzahl (2n-1)², was nach der zweiten binomischen Formel 4n²-4n+1=4*(n²-n)+1 ergibt.
Du hast also ein Vielfaches von 4, zu dem 1 addiert wird. Diese 1 bleibt bei einer Division durch 4 immer als Rest übrig.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hatte Mathe auch nur auf der Schule gehabt und mich dann einfach aus Spaß weiter damit beschäftigt. Daß eine gerade Zahl als 2n und eine ungerade allgemein als 2n-1 dargestellt wird, kann man schon im normalen Unterricht lernen, die binomischen Formeln sind sowieso Standard. Man muß im Grunde nur zwei Informationen verbinden. Das ist nicht so schwierig. Je länger Du Dich mit solchen Sachen beschäftigst, desto öfter begegnen Dir solche Herleitungen.
Wenn Du also nicht von selbst draufkommst, liest Du es irgendwann und weißt es halt.
Letztlich alles eine Frage des Interesses und der Zeit, die man bereit ist aufzuwenden.
Was ich über das Schulwissen hinaus kann, habe ich mir selbst beigebracht aus Büchern wie die von Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1 bis 3, das auch für Laien wie mich gut verständlich ist.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist immer ungerade, also muss die Ausgangszahl einer geraden Quadratzahl auch gerade sein. Jede gerade Zahl ist aber durch zwei teilbar, also ist jedes Quadrat einer geraden Zahl durch 2² (=4) teilbar.
Jede ungerade Quadratzahl ist die Summe einer ungeraden Zahl ungerader Zahlen.
1, 1+3, 1+3+5, ...
Lassen wir die erste eins ausser acht, ergibt sich jeweils die Summe einer geraden Zahl ungerader Zahlen. Die Summe zweier benachbarter ungerader Zahlen ist immer durch vier teilbar (eine hat den Rest eins, die andere den Rest drei ergibt zusammen Rest vier). Die Summe mehrerer durch vier teilbarer Zahlen ist aber auch durch vier teilbar.
Wo lernt man sowas ? Ist ja Basis Mathematik, aber hätte es trotz gutem Abi nicht so begründen können.