Teilbar durch 6?
Beweise, dass 5a^2+a^4 durch 6 teilbar ist
5 Antworten
IA (a = 0): 5*0² + 0⁴ = 0 ist durch 6 teilbar.
[IA (a = 1): 5*1² + 1⁴ = 6 ist durch 6 teilbar.]
IV: 5a² + a⁴ ist durch 6 teilbar für ein a.
IS (a -> a+1):
5(a+1)² + (a+1)⁴ = 5(a² + 2a + 1) + a⁴ + 4a³ + 6a² + 4a + 1
= 5a² + a⁴ + 4a³ + 6a² + 14a + 6
=(IV)= 4a³ + 6a² + 14a + 6
= 2(2a + 1)(a² + a + 3) [ist durch 6 teilbar?]
Wenn du nun zeigen kannst, dass entweder (2a + 1) mod 3 = 0 oder (a² + a + 3) mod 3 = 0, bist du fertig. Dann wäre ja eines davon durch 3 teilbar und da das mit 2 multipliziert wird, wäre das Ganze dann auch durch 6 teilbar.
Zunächst:
(a² + a + 3) mod 3
= (a² + a) mod 3
= (a(a + 1)) mod 3.
und
(2a + 1) mod 3
= (2(a + 2) - 4 + 1) mod 3
= (2(a + 2) - 3) mod 3
= (2(a + 2)) mod 3.
Es gibt nur 3 Möglichkeiten a zu wählen, und zwar so dass eines hiervon gilt:
- a mod 3 = 0
- a mod 3 = 1
- a mod 3 = 2
- Im ersten Fall gilt a mod 3 = 0. Dann wäre a(a + 1) mod 3 = 0.
- Im zweiten Fall gilt (a + 2) mod 3 = 0. Dann wäre (2(a + 2)) mod 3 = 0
- Im dritten Fall gilt (a + 1) mod 3 = 0. Dann wäre a(a + 1) mod 3 = 0
2(2a + 1)(a² + a + 3) ist also durch 6 teilbar, bzw. 2(2a + 1)(a² + a + 3) mod 6 = 0.
Das ist natürlich alles richtig.. aber wenn du sowieso die Fallunterscheidung machen musst, warum dann die Induktion?
Mir geht es nicht darum, dass ich jetzt meine Beweisidee unschlagbar toll finde, aber dieser Reflex "da ist was mit natürlichen Zahlen, also nehme ich die Induktion", der ist nicht gesund. Wenn man etwas direkt zeigen kann, dann sollte man es auch direkt zeigen.
Vielleicht hier noch eine etwas elegantere Lösung. Man muss Teilbarkeit durch 2 und 3 zeigen. Diesbezüglich ist
5a^4 + a^2
gleichwertig mit
-a^4 + a^2 = a^2 ( a^2 - 1 ).
(Wir haben mit 6a^4 ein Vielfaches von 6 abgezogen. )
Das Produkt rechts ist durch 2 und 3 teilbar:
Jedes Quadrat lässt Rest 0 oder 1 bei Division durch 3.
Du nutzt dafür am besten das Beweisverfahren, basierend auf den Peano-Axiomen, der vollständigen Induktion. Das du diese Aufgabe erhalten hast, bedeutet für mich, dass die Vorgehensweise der vollständigen Induktion bereits in der Vorlesung behandelt wurde.
Sorry ^^, Teilbarkeit durch xy zu beweisen kommt halt nur häufig vor beim Thema: Vollständige Induktion und ich dachte das wäre wieder so ein Fall. Der Formeleditor hier ist ein wenig rudimentär und ich werde mal via LaTeX arbeiten. Wenn ich fertig bin, schicke ich dir das Bild :)
Für mich sieht das mehr nach einer Aufgabe vor, bei der man den Umgang mit Divisionsresten üben kann.
Das wurde auch nicht behauptet. Also es wurde nicht behauptet, dass man es zwingend dafür bräuchte.
Das ganze lässt sich mit dem kleinen Fermat ganz schnell zeigen:
Es gilt: a^p mod p = a, wenn p Prim ist
Außerdem: a^(p-1) mod p = 1 (p Prim)
Dass der term immer gerade ist, kann man leicht zeigen.
Fehlt nur noch die Teilbarkeit durch 3:
5a^2+a^4 mod 3 | (2 = 3-1 => a^2 =1; a^4 = a^2+2)
= 5 + a^2*a^2 mod 3
= 5 + 1* 1 mod 3
= 6 mod 3
= 0
Somit teilen 2 und 3 den Term, also teilt auch 6 den Term
Die erste Gleichung lautet eigentlich
a^p = a (mod p), wobei das Gleichheitszeichen in der Mitte 3 Striche hat, das steht dafürz dass beide Seiten kongruent zueinander unter mod p sind, also dass beide den selben Wert Haben
Ja, mit dem kleinen Fermat ist das kein Problem - aber da der Fragesteller wohl eher ein Schüler als ein Student ist, schien mir das keine angemessene Antwort. :-)
Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Wenn du also wissen willst, ob A = 5a^2 + a^4 durch 6 teilbar ist, musst du dir überlegen, ob der Ausdruck durch 2 und 3 teilbar ist.
Erstmal ist natürlich A= a^2 (5+a^2).
Wenn a gerade ist, dann ist a² auch gerade und 5+a² ungerade, wenn a ungerade ist, ist a^2 auch ungerade und 5+a² gerade. Einer der beiden Faktoren ist also immer gerade, also ist A durch 2 teilbar.
Bei der Teilbarkeit durch 3 sind drei Fälle zu unterscheiden: ist a durch 3 teilbar, dann auch A.
Jetzt kann entweder gelten: a = 3n+1 oder a=3n+2, also entweder gibt es bei der Division durch 3 den Rest 1 oder den Rest 2 (n ist eine natürliche Zahl, hier ist auch 0 möglich).
Fall 1: a = 3n+1, also a^2 = 9n² + 6n + 1 und 5+a² = 9n² + 6n + 6 = 3(3n²+2n+1), also durch 3 teilbar und damit auch A durch 3 teilbar.
Fall 1: a = 3n+2, also a^2 = 9n² + 12n + 4 und 5+a² = 9n² + 12n + 9 = 3(3n²+4n+3), also durch 3 teilbar und damit auch A durch 3 teilbar.
Fertig.
Gute Antwort, leider ist es 5*a^2+a^4 und nicht 5+a^2+a^4
Ja. Ja, genau das habe ich doch auch gerechnet...
5 * a^2 + a^4 = a^2 (5 + a^2).
Ich habe einfach a^2 ausgeklammert. Mehr nicht.
Für 5 + a^2 + a^4 gilt das ganze ja auch gar nicht. Das geht schon bei a=1 schief.
Vorlesung xD?? Ich bin in der neunten Klasse... Und nein, wir hatten noch überhaupt keine Beweisverfahren. Ich hab die Aufgabe um ehrlich zu sein schon gelöst, will aber noch was über andere Lösungsmöglichkeiten lernen. Wenn du Lust hast, kannst du das sehr gerne weiter ausführen.