Warum ist ein Kreis endlich, die Zahl π aber nicht?
Folgendes: Ich zeichne einen Kreis aufs Papier. Wenn der fertig ist, ist er ein "endliches Objekt".
Damit sind sowohl Umfang wie Durchmesser "endliche Werte", ich kann sie ja messen.
Wieso ist dann "π" (U durch d) unendlich?
Das würde ja heißen, ein Kreisumfang kann niemals genau gemessen werden und ist eigentlich „unendlich“, obwohl ich ihn „endlich“ gezeichnet habe.
15 Antworten
Das würde ja heißen, ein Kreisumfang kann niemals genau gemessen werden
Stimmt - allerdings nur, wenn Du mit "genau" meinst "mit einer Abweichung von weniger als z. B. dem Durchmesser eines Protons" ...
und ist eigentlich „unendlich“,
Das ist Quatsch - Du wirfst (wie so viele) den Wert einer Zahl mit ihrer Dezimaldarstellung durcheinander.
Pi ist kleiner als 4, sogar kleiner als 3,2, also eindeutig nicht unendlich (groß) - dass es in unserem üblichen Dezimalsystem nicht möglich ist, diese Zahl genau aufzuschreiben und wir darum unendlich viele Stellen nach dem Komma brauchen würden, ist eine ganz andere Sache. In einem Zahlensystem zur Basis Pi, statt zur Basis 10 wäre das überhaupt kein Problem
Z. B. benutzten Ingenieure bestimmter Fachrichtungen zur Winkelmessung gerne das "Bogenmaß" (auch als "Radiant" bekannt) mit der Einheit "rad" statt des üblichen "Grad" - dann ist ein Vollwinkel schlicht 2*Pi rad, z. B. ein rechter Winkel ist 0,5*Pi rad. Ein Winkel von z. B. 1 rad lässt sich in diesem System wunderbar einfach hinschreiben, und man sehr leicht damit arbeiten (darum benutzen diese Ingenieure dieses System) - wenn Du den aber in Grad umrechnen willst, brauchst Du wieder unendlich viel Nachkommastellen ...
§1: nicht unendlich, sondern irrational (sogar
https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl )
§2: unterscheide zwischen theoretischer Mathematik (in der man theoretisch alles unendlich genau berechnen könnte) und realer Physik:
- es gibt keine Einheiten (Länge ; Energie, ...) die unendlich klein werden können, sondern alles ist durch https://de.wikipedia.org/wiki/Planck-Einheiten begrenzt
- Kreis-Teilsegment kann nie kürzer als 10^-35 m sein!
- ein Zeichenstift kann nie unendlich dünn sein! (Atomabstand 10^-6 mm )
- Kreis kann nie mehr als 10^80 Ecken/Punkte haben, da das gesamte Weltall nicht mal 10^90 Atome besitzt
- nach dem Beweis der Gravitationswellen "zittert" das gesamte Weltall (alle Längen) ständig! Es gibt keine absolute Ruhe
Alles Beweise, dass es in der realen Welt keinen perfekten Kreis gibt!
Nicht mal ein 10^80 Eck gibt es!
§3: Pi = A000796 hat nicht nur was mit "Kreis" zu tun, sondern ist eine universelle Naturkonstante, die in allen echten Wissenschaften zig mal vorkommt! Unter
http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
findet man über 100 Algorithmen, die alle Pi als Ergebnis haben. (Integrale, unendliche Summen, Produkte, Kettenbrüche, Iterationen mit Primzahlen, Summen mit Fibonacci-Zahlen,...). Gemeinsamkeit: sie enden nie, d.h. man kann theoretisch immer weiter neue Nachkommastellen ausrechnen.
Leute, die das nicht verstehen, kommen später auch nicht mit zig Paradoxen klar, die zwischen theoretischer Mathematik & realer Physik auftauchen (Physik ist durch zig Randbedingungen immer begrenzt -> die theoretische Mathematik nicht!)
Theoretische Mathematik dahinter: Kreisfunktion = Wurzel(1-x²)
Um auf Umfang oder Fläche zu kommen, muss diese integriert werden, was zu
Pi= 2 * asin(1) führt. Nun ist asin(x)=sin^(-1)(x) keine einfache Taschenrechnerfunktion (der rechnet oft nicht mal 6 Nachkommastellen richtig aus!), sondern in Wirklichkeit eine unendliche Summe:
asin(1)=1+1^3/6+(3*1^5)/40 +(5*1^7)/112+(35*1^9)/1152+(63*1^11)/2816 +...
mit jedem Summanden kommen neue Nachkommastellen "hinten hinzu" und da diese Reihe konvergiert, ändern sich vordere Nachkommastellen bei ganz kleinen Summanden nicht mehr.
- 10000. Summand = 2.820771617529333563...×10^-7
Dieser Algorithmus ist jedoch langsam: 10000 Summanden für nicht mal 7 richtige Nachkommastellen. Bei meinem LINK findet man sehr viel bessere.
Spannende, atemberaubende Antwort, danke! Sie mutet mir sogar philophisch: Vom Kreis über die Planck-Einheit zum Ende des Weltalls und wieder zurück. Da kam mir spontan die Fraktalgeometrie in den Sinn: So wie man eine Küste nie genau messen kann (Weder ein noch zwei Dimensionen, sondern eigentlich was dazwischen) kann man eigentlich auch keinen selbst gezeichnten Kreis genau messen: Würde man z.B. einen 30cm umfängigen Kreis tausendfach vergrössern, könnte man sehen, dass er vielleicht 30,1 cm wäre, vergrösserte man auf eine Million, käme man schon auf 30,154 cm usw. , womit das Ganze sich von einer ehemals gemessen ganzen Zahlverschiebt zu einer Zahl mit "unendlich" vielen Stellen hinter dem Komma. So meine Überlegung als "Hobbydenker" ohne Dr-Titel
Ganz unten von http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
findet man auch den LINK zu "Pi in Mandelbrot".
Das Vergrößern ist auch nur wieder theoretische Mathematik. Jeder Physiker kennt die vielen praktischen Probleme des Verstärkens/Vergrößerns:
Rauschen, Nichtlinearität, Fehlerfortpflanzung, Prismaeffekt, Verstärker/Linse besteht auch aus relativ großen Atomen...
Ach ja, zu Philosophie & Weltall noch: https://de.wikipedia.org/wiki/Weltformel
genau da taucht Pi ja zig fach auf! Man kann nicht einfach etwas herauspicken und isoliert vom Rest der Welt betrachten. Spätestens mit den Gravitationswellen, die ja das gesamte Weltall durchziehen, sollte das jedem klar werden.
Es gibt auch Überlegungen wie: "nur weil gewisse Differentialgleichungen nicht eindeutig lösbar" (oder anders: weil es irrationale Ergebnisse gibt -> also immer ein gewisser unbestimmter "Rest" überbleibt siehe auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation )
hat sich nach dem Urknall nicht alles gleichmäßig neutralisiert, sondern blieb "Materie über".
Wir Menschen sind also eine Art "Rest" dank dieser Unbestimmtheit :-)
Ich würde π nicht eine Naturkonstante nennen, denn sie ist unabhängig vom konkreten Universum, solange darin nur jede raumartige Ebene eine Euklidische Metrik hat (zumindest näherungsweise, im Kleinen, wenn die Raumzeit nicht flach ist).
Wenn man so will, ist π eine „über - natürliche“ Konstante
kennst du dass Prinzip von dem Glas Wasser welches man bis zur Hälfte befüllt und dann wieder die Hälfte der Hälfte nachkippt und dann die Hälfte der Hälfte der Hälfte usw. das glaß wird nie voll werden und nie überlaufen. Genauso ist es mit den nachkommastellen sie werden zwar immer mehr aber du wirst niemals den 100% richtigen Wert erhalten. Anders gesagt wirst du mit mehr nachkommastellen niemals den den gesammten Radius errechnen können :)
Hallo,
die Zahl Pi ist nicht unendlich, sondern hat in unserem Dezimalsystem nur unendlich viele Nachkommastellen.
Ob der Kreisumfang in glatten Zahlen angegeben werden kann oder nicht, ist nur eine Frage der Maßeinheit.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Kreisumfang ist genausowenig „unendlich“ wie die Diagonale in einem Quadrat (√2̅). Beide kannst Du in endlicher Zeit abschreiten, anders als z.B. die Kochsche Kurve.
Daß eine Zahl irrational ist, heißt ja nur, daß man ∞ viele Ziffern braucht, um sie vollständig aufzuschreiben; aber jede beliebig vorgegebene Genauigkeit läßt sich mit endlich vielen Ziffern erreichen. Bei einer echt unendlichen Größe erreichst Du mit endlich vielen Ziffern genausowenig wie mit unendlich vielen, nämlich gar nichts.
Mir ist wieder eingefallen, dass das Problem auch in der Philosophie ein Thema war und ist, so z.B. beim "Pfeil des Zenon" und beim Paradoxon "Achilles und die Schildkröte", ebenso bei "Zenons Massparadoxon". Ganzes, Teilung und Unendlichkeit, eine schöne und spannende Sache zum Nachdenken und Staunen. Danke für die Antwort, übrigens...