Warum ist die Länge der Diagonalen in einem Quadrat immer eine irrationale Zahl?
Guten Nachmittag :)
In der gestrigen Mathe-Vorlesung haben wir uns den Beweis angeschaut, warum die Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist. Ich habe mir nun den Beweis nochmals zu Hause mit dem Mathebuch angeschaut und verstehe ihn zum Glück auch. Nun steht dort aber dass man eben wegen dieses Beweises auch weiss, dass die Länge der Diagonalen in einem Quadrat (mit Seitenlänge a>0) immer eine irrationale Zahl sein muss.
Obwohl ich den Beweis für die Irrationalität der Wurzel aus 2 verstanden habe, komme ich nun nicht draus woher man das automatisch wissen soll und warum das so ist. Kann mir das jemand erklären?
Und wenn dies bei einem Quadrat immer der Fall ist, wie sieht es dann bei einem Würfel aus? Ist dort die Länge der Raumdiagonalen auch immer eine irrationale Zahl?
Vielen Dank schon im Voraus!
4 Antworten
Ich denke nicht, dass das im Allgemeinen stimmt. Nach Pythagoras ist
d²=a²+a²=2a²also
d=a*sqrt(2)Wählen wir
a=sqrt(2)dann ist d=2 rational.
Die Behauptung stimmt aber für Quadrate mit einer rationalen Kantenlänge, dann etwas Rationales multipliziert mit sqrt(2) ist sicher irrational.
Bei der Raumdiagonale eines Würfels gilt
d=a*sqrt(3)und nachdem sqrt(3) irrational ist gelten die gleichen Aussagen wie beim Quadrat.
Weil die Länge der Diagonalen ja nur ein Vielfaches von Wurzel 2 ist. Und wenn Wurzel 2 irrational ist, ist ein Vielfaches das auch.
d² = a² + a²
⇔ d = √(2a²) = √2*√a² = a√2
Und √2 ist nach Euklid irrational.
Wähle nun aber a = √2, so ist d = 2, also rational.
Kann es sein, dass a ∈ N oder Q gilt?
Überall Mathematik (Test) in der Schule hatte ich nur Test : Deutschtest, Englischtest und Mathetest. Ist nur spaß mensch, also...
Die Länge einer Diagonalen in einem Quadrat kann keine irrationale Zahl entstehen und bei einem Würfel ist es bisschen anders. Welche Quellen benutz du?
Probiere mal mit Pythagoras..