Warum ist die Exponentialfunktion die einzige differenzierbare Funktion f : ℝ → ℝ mit f'=f und f(0)=1?

Antwort:

Man betrachte die Funktion g(x):=f(x)·exp(-x). Für diese gilt:

g'(x)=-f(x)·exp(-x)+f'(x)·exp(-x)=(f'(x)-f(x))·exp(-x)

Es folgt f(x)=C·exp(x), und wegen f(0)=exp(0) ist C=1

Frage: Warum folgt denn aus g'(x)=(f'(x)-f(x))·exp(-x), dass f(x)=C·exp(x)

Answer 1

[Fachkunde]

Da g'(x)=0, weil f'=f und (f'-f)·exp(-x)=0·exp(-x)=0, gilt nach dem Konstanzkriterium, dass g(x)=c mit c aus |R sein muss.

g(x)=f(x)·exp(-x)=c

daraus folgt, dass f(x)=c·exp(x) sein muss, da g(x)=c·exp(x)·exp(-x)=c.

wegen g(0)=exp(0)=1 ist C=1.