Warum ist 4^x e^(ln(4)*x) und nicht zb e^(ln(4x))?
Und wie kommt man generell drauf
3 Antworten
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung zur natürlichen Exponentialfunktion. Daher gilt für alle Zahlen a:
Für a = 4x würde man
erhalten. Das sollte dir dementsprechend nun beantworten, warum 4^x nicht äquivalent zu e^(ln(4x)) ist. Denn e^(ln(4x)) ist äquivalent zu 4x, statt zu 4^x.
Für a = 4 würde man
erhalten. Bzw. andersrum aufgeschrieben:
Potenziert man das nun mit x erhält man...
Nun kann man die folgende Rechenregel nutzen, die allgemein für alle positiven Zahlen b und alle reellen Zahlen r, s gilt:
Im konkreten Fall für b = e und r = ln(4) und s = x erhält man...
Zusammenfassend dann also...
Beim Logarithmus muss man sich sicher sein, wie weit die Klammern reichen.
Grundsätzlich heben sich e und ^ln gegenseitig auf.
Aber dann:
e^(ln (xa)) = x * a
e^((ln x)*a) = x^a
weil nämlich schon e^ln (x) = x.
5. Potenzgesetz:
Potenzieren einer Potenz bedeutet Multiplikation der Exponenten.
(a^b)^c = a^(bc)
ln(4x) ist nicht dasselbe wie ln(4^x).
Das sind die Rechengesetze des Logarithmus.