Warum ist 4^x e^(ln(4)*x) und nicht zb e^(ln(4x))?

Und wie kommt man generell drauf

Answer 1

[mihisu]

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung zur natürlichen Exponentialfunktion. Daher gilt für alle Zahlen a:

$\text{e}^{\ln(a)}=a$

Für a = 4x würde man

$\text{e}^{\ln(4x)}=4x$

erhalten. Das sollte dir dementsprechend nun beantworten, warum 4^x nicht äquivalent zu e^(ln(4x)) ist. Denn e^(ln(4x)) ist äquivalent zu 4x, statt zu 4^x.

Für a = 4 würde man

$\text{e}^{\ln(4)}=4$

erhalten. Bzw. andersrum aufgeschrieben:

$4=\text{e}^{\ln(4)}$

Potenziert man das nun mit x erhält man...

$4^x=\left(\text{e}^{\ln(4)}\right)^x$

Nun kann man die folgende Rechenregel nutzen, die allgemein für alle positiven Zahlen b und alle reellen Zahlen r, s gilt:

$\left(b^r\right)^s = b^{r\cdot s}$

Im konkreten Fall für b = e und r = ln(4) und s = x erhält man...

$\left(\text{e}^{\ln(4)}\right)^{x}=\text{e}^{\ln(4)\cdot x}$

Zusammenfassend dann also...

$4^x=\left(\text{e}^{\ln(4)}\right)^x=\text{e}^{\ln(4)\cdot x}$

Answer 2

[Volens]

Beim Logarithmus muss man sich sicher sein, wie weit die Klammern reichen.

Grundsätzlich heben sich e und ^ln gegenseitig auf.

Aber dann:

e^(ln (xa)) = x * a
e^((ln x)*a) = x^a

weil nämlich schon e^ln (x) = x.

5. Potenzgesetz:
Potenzieren einer Potenz bedeutet Multiplikation der Exponenten.
(a^b)^c = a^(bc)

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 3

[FataMorgana2010]

$4^x=e^{\left(\ln\left(4^x\right)\right)}=e^{\left(x\cdot\ \ln\left(4\right)\right)}$ ln(4x) ist nicht dasselbe wie ln(4^x).

Das sind die Rechengesetze des Logarithmus.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)