Warum ist 0, periode 9 = 1?
Frage steht oben! Unser Mathelehrer hatte uns das mal so erklärt, aber es muss doch irgendeine logische Erklärung dafür geben. Ich habe es nicht so ganz verstanden. Danke im Vorraus
15 Antworten
Nur damit der Sinn der Aussage ganz klar ist: 0,(periode)9 ist genau gleich 1, es ist einfach eine andere Schreibweise für die 1. Also, 0,(periode)9 "strebt" nicht gegen 1 (wie das manchmal falsch ausgedrückt wird), sondern ist 1.
Es gibt einige schöne, für Schüler gut verständliche Beweise, siehe zB die Antwort von JotEs. Das kann einem auch genügen.
Wenn's dennoch etwas "mathematischer" sein soll, hier noch die Begründung über den Grenzwert:
Der Wert einer periodischen Dezimalzahl ist als Grenzwert definiert, zB ist 0,(periode)3 der Wert, gegen den die Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...) strebt. Dieser Wert ist ein Drittel (die einzelnen Folgenglieder bleiben jedoch immer kleiner als 1/3, nähren sich 1/3 jedoch immer mehr an).
Entsprechend ist dann natürlich 0,(periode)9 der Wert, gegen den die Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;...) strebt. Diese Folge strebt aber gegen 1, daher ist 0,(periode)9 gleich 1. Ganz ebenso wie 0,(periode)3 gleich 1/3 ist.
Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Meiner Ansicht nach ist 0,(periode)9 nicht 1!
Es ist 1, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Genauso wenig wie 0,33333 1/3 ist!
0,33333 ist ja auch nicht 1/3, sondern 0,(periode)3 ist 1/3.
das mit 0,3333 nähert sich an 1/3 an,
Mit "das mit 0,3333" meinst du doch "ich hänge immer noch eine 3 an". Das ergibt eine Folge von Zahlen, nämlich (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...). Und diese Folge nähert sich an 1/3 an. Die Schreibweise 0,(periode)3 bedeutet per Definition den Wert, an den sich die Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...) beliebig nahe annähert. Und dieser Wert ist 1/3. Daher :
0,(periode)3 = 1/3
Die Perioden-Schreibweise bedeutet nicht "ich hänge noch immer noch eine Ziffer an", sondern sie steht für denjenigen Wert, an den sich die Folge, die man durchs Ziffernanhängen erhält, annähert. Nennt man Grenzwert.
genauso nähert sich 0,(periode)9 an 1 an,
Nicht 0,(periode)9 nähert sich, sondern die Folge, die du durch fortgesetztes Neuner-Anhängen erhälst:
0,9
0,99
0,999
…
Das nähert sich an 1 an. Und mit "Periode" ist eben der Wert gemeint, an den sich die Folge annähert. Also 1.
aber es fehlt eben doch "ein Unendlichstel" um 1 zu sein...
Für jede Zahl aus der Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; …) fehlt immer noch was zur 1. Was da fehlt, wird immer kleiner. Aber wie schon gesagt: 0,(periode)9 steht aber nicht für diese Folge, auch nicht für eine Zahl aus dieser Folge, sondern für den Wert, an den sich diese Folge annähert. Und dieser Wert ist 1.
Allgemeiner: Ist Z eine Ziffer (oder mehrere, man könnte auch Z="15634578" nehmen), dann ist 0,(periode)Z diejenige Zahl, an die sich die Folge (0,Z; 0,ZZ; 0,ZZZ; 0,ZZZZ; …) beliebig annähert.
Ich habe es ehrlich gesagt auch nie verstanden. Zwar kann ich nachvollziehen, wie argumentiert wird, doch überträgt man diesen Sachverhalt auf eine graphische Lösung, wird es schwieriger.
Nehmen wir eine Kurve, die sich der x-Achse nähert, ohne sie zu schneiden. Sie kommt immer näher dran. Also im ersten Schritt 0,9, um zweiten Schritt 0,99, im dritten 0,999 usw. Sie berührt die Achse aber niemals. Würde sie sie berühren, wäre es 1.
Man sagt zwar, dass sie die x-Achse in der Unendlichkeit schneidet, aber rein logisch betrachtet passiert dieses eben genau nicht.
Aber ich habe auch nicht Mathematik studiert. Von daher streite ich mich deswegen auch nicht.
Ich habe es ehrlich gesagt auch nie verstanden.
Ist 1/4 = 2/8 = 3/12=...= 0,25=2,250=0,2500=0,25000=0,2500000 = 0,2500000000=... auch ein Problem? Es gibt viele Schreibweisen für ein und dieselbe Zahl. 0(periode)9=1 ist eben eine weitere.
Also im ersten Schritt 0,9, um zweiten Schritt 0,99, im dritten 0,999 usw. Sie berührt die Achse aber niemals.
Ja, das stimmt. Egal, wie viele Neuner man anhängt, die 1 wird nie erreicht. Indessen strebt die Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;...) gegen 1, dh 1 ist ihr Grenzwert. Die Schreibweise 0,(periode)9 steht für diesen Grenzwert, also 0,(periode)9=1.
http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Allgemein: Die Perioden-Schreibweise steht nicht für "ich hänge immer noch weitere Ziffern an". Sie steht auch nicht für die Folge der Zahlen, welche man durch das Anhängen der Ziffern erhält. Sondern die Perioden-Schreibweise steht immer für den Grenzwert der Folge, die durch das Ziffern-Anhängen entsteht.
Hier steht nochmal die Erklärung mit den Grenzwert: http://tinyurl.com/6am9lkn
Hallo,
hier ein wie ich finde gutes Bsp.:
Wir nehmen mal an, dass M=0,(Periode)9 ist. Dann nehmen wir doch mal M x 10.
Dann haben wir 10M = 9,(Periode)9.
Jetzt ziehen wir von 10M mal ein M ab, also 10M - 1M = 9,(Periode)9 - 0,(Periode)9
Hier wird hoffentlich für alle sichtbar, dass wenn man von 9,(Periode)9 0,(Periode)9 abzieht, 9 rausbekommen, sowie bei 10M - 1M = 9M
Hier sehen wir, dass 9M = 9 ist, und so M = 1 ist.
Ich hoffe ich konnte weiterhelfen
Gruß: bigboy00
Das ist eine Täuschung und kein Beweis!
X = 0,999...
10X = 9,999...
9X = 10X - 1X = 9
X = 1
Wie folgt aufgeschrieben wird der Fehler deutlich:
X = 0,999...9
10X = 9,999...0
9X = 10X - 1X = 8,999...1
X = 0,999...9
Irrtum, lieber GenialerIdiot,
Die Schreibweise
x = 0,999...
bedeutet, dass auf das Komma unendlich viele Neunen folgen sollen.
Verzehnfacht man eine Dezimalzahl, so bedeutet das, dass man das Komma um eine Stelle nach rechts rückt. Beispiel: Aus 10,52 wird 105,2.
So ist es auch hier ... aus 0,999... wird 9,99... wobei die drei Punkte jeweils für eine Folge von unendlich vielen Neunen stehen. Eine Null kommt in dieser Folge nirgends vor.
Je mehr Stellen man dran macht, desto stärker nähert sich die Zahl an 1 an.
Zur Veranschaulichung rechnen wir einfach mal die Differenz aus:
- 1 - 0,9 = 0,1
- 1 - 0,99 = 0,01
- 1 - 0,999 = 0,001
und so weiter. Man sieht, dass der Fehler bei jedem Schritt um eine Dekade kleiner wird. Setzt man das unendlich fort, wird der Fehler unendlich klein.
Das bedeutet, daß der Fehler gegen Null strebt. Für eine Endliche Anzahl von "9en" wird der Fehler nicht verschwinden, der verschwindet erst in der Unendlichkeit. Man kann also sagen, dass der Fehler gegen Null strebt. Wenn man schreibt "0, periode 9", dann hat man genau unendlich viele Stellen und damit ist der Fehler unendlich klein oder anders ausgedrückt einfach Null. Und wenn man das gkleich eins setzt und der Fehler dabei Null ist, dann ist das auch "gleich 1".
Ich versteh das nicht ganz. Meiner Ansicht nach ist 0,(periode)9 nicht 1! Genauso wenig wie 0,33333 1/3 ist! Ich finde, das mit 0,3333 nähert sich an 1/3 an, stimmt schon und genauso nähert sich 0,(periode)9 an 1 an, aber es fehlt eben doch "ein Unendlichstel" um 1 zu sein...