Warum ist 0! gleich 1?
Ich habe mich gefragt ob es eine tasächliche mathematische Begründung gibt warum 0! = 1 ist. Mir wurde es bisher nur auf folgende Weise beschrieben:
3! = 3 * 2 * 1 = 4!/4 = 6
2! = 3!/3 = 2
1! = 2!/2 = 1
=> 0! = 1!/1 Das ist doch aber kein wirklicher mathematischer Beweis dafür oder?
4 Antworten
Aber es ist eine sehr plausible Art, die Definition einmal "vorläufig" so zu setzen. In sehr vielen Zusammenhängen (z.B. bei Binomialkoeffizienten) zeigt es sich dann, dass diese Definition sehr nützlich - und vor allem kompatibel mit weiteren Definitionen ist. n! steht z.B. für die Anzahl der Permutationen einer Menge mit n Elementen. Für n=0 müsste man also die leere Menge { } betrachten. Zu dieser Menge gibt es genau eine Permutation, die durch ein Klammerpaar <> (mit nichts dazwischen) besteht. Offensichtlich hat also die leere Menge genau eine Permutation. Das ist ein Argument dafür, 0! = 1 zu setzen.
Dass einem Produkt ohne Faktoren sinnvollerweise der Wert 1 zugeordnet wird, lernt man übrigens in der Schule schon beim Kürzen von Brüchen. Fallen z.B. alle Faktoren des Zählers beim Kürzen des Bruches weg, so schreibt man dort nicht etwa eine Null, sondern eine Eins hin ! Weshalb das wirklich sinnvoll ist, wird dabei wohl längst nicht allen Schülern gleich klar - aber sie lernen es ....
Das kann man nich beweisen das ist so definiert. Hat sich halt aus praktischen gründen so ergeben.
Dr James Grime von Numberphile hat das ganz gut erklärt:
Es gilt (k+1)! = k! • (k+1)
für k=0 steht da (0+1)! = 0! • (0+1)
oder 0! = (0+1)! / (0+1) = 1/1