Beschränktheit einer Menge zeigen?
Hi, könnte mir jemand beim beweisen der Beschränktheit einer Menge helfen.
Ich müsste folgende Aufgaben lösen,
Grundsätzlich sieht man welche Mengen gegen unendlich schießen und welche nicht, jedoch weiß ich nicht wie ich das mathematisch ausdrücken soll.
Es wäre nett, wenn mir jemand ein Beispiel vorrechnen könnte.
Dankschöne schonmal fürs Zeit nehmen!
1 Antwort
Hallo,
zunächst brauchst du eine Definition der Beschränktheit von Mengen.
Def. 1: Eine Menge A ⊆ ℝ heißt nach oben beschränkt, wenn es ein S ∈ ℝ gibt, so dass für alle a ∈ A gilt: a ≤ S . S heißt obere Schranke von A.
Def. 2: Eine Mange A ⊆ ℝ heißt nach unten beschränkt, wenn es ein S' ∈ ℝ gibt, so dass für alle a ∈ A gilt: a ≥ S'. S' heißt untere Schranke von A.
Und nun die Definition für die Beschränktheit einer Menge:
Def. 3: Eine Menge A ⊆ ℝ heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Das bedeutet, wenn du zeigen willst, dass eine Menge A beschränkt ist, genügt es eine obere und eine untere Schranke der Menge A anzugeben und zu zeigen, dass sie tatsächlich eine obere und eine untere Schranke sind.
Beispiel a)
Behauptung: 0 ist eine untere Schranke von A.
Beweis: für alle n ∈ ℕ gilt: n > 0.
Daraus folgt 1/n > 0 , und es gilt (erst recht) 1/n ≥ 0 .
Wir haben also gezeigt, dass für alle a ∈ A gilt: a ≥ 0 ,
d.h. 0 ist eine untere Schranke von A.
Behauptung: 1 ist eine obere Schranke von A.
Beweis: für alle n ∈ ℕ gilt: n ≥ 1 <=> 1 ≥ 1/n <=> 1/n ≤ 1
Wir haben also gezeigt, dass für alle a ∈ A gilt: a ≤ 1,
d.h. 1 ist eine obere Schranke von A.
Das heißt, dass A nach unten und nach oben beschränkt ist.
Also ist A beschränkt.
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Du siehst, die Schwierigkeit besteht nicht darin, dass die hier vorkommenenden Rechnungen kompliziert sind, sondern darin, dass man Punkt für Punkt die Definitionen beachten und genau argumentieren muss.
Noch ein Hinweis zu c):
Die Elemente von C sind entweder von der Form 1/n oder -1/n.
Das bedeutet, dass A eine Teilmenge von C ist. Es würde also genügen, wenn du für die Elemente - 1/n zeigen würdest, dass auch sie nach oben und unten beschränkt sind.
Gib also eine obere und eine untere Schranke der Elemente -1/n so an, dass sie auch eine obere und eine untere Schranken von 1/n sind. Damit hättest du dann gezeigt, dass es für alle Elemente aus C eine obere und eine untere Schranke gibt (und damit ist C beschränkt).
Ich hoffe, dass du damit weiter kommst.
Gruß
Vielen Vielen Dank für die ausführliche Antwort, hat gut geholfen! Danke