Polynome , die keine reellen Nullstellen haben erstellen?

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Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

Polynome können auch in faktorisierter Form vorliegen, so daß Du bei der Nullstellensuche die Gleichung
(x-x1)*(x-x2)*...*(x-xn)=0 lösen mußt.

Die Nullstellen sind dann jeweils x1, x2...xn.

Wenn Du jetzt für x1, x2 usw. jeweils Zahlen einsetzt, die nicht zu R gehören, also zum Beispiel einfach Wurzeln aus negativen Zahlen, die nur in der Menge der komplexen Zahlen zu finden sind, hast Du es schon.

Wenn Du magst, kannst Du die Klammerterme anschließend ausmultiplizieren.

Herzliche Grüße,

Willy


xTaizu 
Beitragsersteller
 19.03.2017, 13:12

Danke hast mir sehr weiter geholfen, gibts so eine Methode auch um Polynome mit genau zwei reellen Nullstellen erstellen zu können?

Willy1729  19.03.2017, 13:14
@xTaizu

Klar:

f(x)=(x-1)*(x+2) z.B.

Zwei Nullstellen: x=1 und x=-2

xTaizu 
Beitragsersteller
 19.03.2017, 13:51
@Willy1729

Bleiben diese zwei Nullstellen auch wenn man den Grad verändert?

Willy1729  19.03.2017, 13:54
@xTaizu

Das ist eine Funktion zweiten Grades.

Du kannst aber beliebig viele mehrfache Nullstellen produzieren, indem Du die Terme potenzierst:

f(x)=(x-1)²*(x+2); f(x)=(x-1)³*(x+2) usw.

Es bleiben zwei Nullstellen, aber die Nullstelle bei x=1 ist dann eben doppelt oder dreifach usw.

Der Grad ist jeweils die höchste Potenz, die x annehmen kann.

xTaizu 
Beitragsersteller
 19.03.2017, 14:02
@Willy1729

Vielen vielen Dank für deine Hilfe und deine Zeit hast mir super weiter geholfen. Schön Tag noch. :)

Willy1729  19.03.2017, 14:35
@xTaizu

Hallo,

so ziemlich das einfachste Polynom beliebigen (geraden) Grades mit genau zwei reellen Nullstellen ist (x²-1)^n

Nullstellen bei x=1 und x=-1, Grad=2n Um das auszumultiplizieren, setzt Du x²=z und benutzt die Summenformel für Binome:

(z-1)^n=Σ(k=0 bis n) von [(n über k)*z^k*(-1)^(n-k)]

Anschließend z wieder durch x² ersetzen und nach Belieben umsortieren.

Willy1729  24.03.2017, 22:13

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Das Polynom muss einen geradzahligen Grad (höchster Exponent) haben, also z.B. 2, 4, 6

Sorge dann dafür, dass entweder (falls an>0) der absolute Tiefpunkt einen positiven y-Wert oder der absolute Hochpunkt (bei negativem Koeffizient an) einen negativen y-Wert hat.

Die quadratische Gleichung

    x²+px+q = 0

hat keine reelle Lösung ⇔ q>p²/4. Die pq-Formel liefert hier nämlich

    x₁,₂ = -p/2 ± Wurzel aus einer negativen Zahl.

Alle Polynome der Form

    c·(x²+p₁x+q₁)·(x²+p₂x+q₂)·...

haben also keine reellen Nullstellen, falls alle qⱼ>pⱼ²/4.

Und damit sind auch wirklich alle Polynome ohne reelle Nullstellen erfasst:

Die komplexen Nullstellen sind nämlich immer paarweise konjugiert. Schreibt man das Polynom als Produkt der Linearfaktoren seiner Nullstellen und multipliziert die konjungierten Paare aus, erhält man stets einen quadratischen Term mit reellen Koeffizienten:

    (x - a+i·b)·(x - a-i·b) = x² - 2ax + (a²-b²)

Also lässt sich jedes Polynom ohne reelle Nullstellen in der obigen Form schreiben.

Vermutlich sind auch Polynome mit ausschließlich reellen Koeffizienten gemeint.

(x - i hat z. B. auch keine reelle Nullstelle)

1. Die Polynome müssen geraden Grad haben - die Nullstellen sind paarweise komplex konjugiert, also müssen Polynome ungeraden Grades immer eine reelle Nullstelle haben - das geht auch über das Verhalten für x -> ±∞)

2. Die lokalen Minima müssen dasselbe Vorzeichen haben wie der höchste Koeffizient

Bei Polynomen 2. Grades: Wähle einen beliebigen Scheitelpunkt außerhalb der x-Achse, nimm eine Normalparabel mit diesem Scheitelpunkt und multipliziere sie mit einem beliebigen Faktor mit demselben Vorzeichen wie die y-Koordinate des Scheitelpunkts.

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Ja, indem du ansetzt 

p(x) = (x-x1)*(x-x1') * (x-x2)*(x-x2') * ... * (x-xi) * (x-xi')

xi komplex, 

xi' = konjugiert komplex zu xi

wenn du komplexe Koeffizienten zulässt einfach

p(x) = (x-x1) * (x-x2) * ... * (x-xi)