Warum geht lim ->0 bei dx/dt?
hallo, dx/dt ist ja die Geschwindigkeit, aber ich verstehe das mit dem lim nicht, kann mir das bitte jemand einfach erklären
6 Antworten
Solange man bei einem s-t Diagramm eine Kurve hat, die nur aus Geraden besteht, kann man schreiben:
v = ∆s/∆t was in einem Koordinatensystem dasselbe ist, wie v = ∆x/∆t
Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeiteinheit.
Wenn v = 0 ist, ruht der Körper.
Im s-t-Diagramm hat man aber nur dann Geraden, solange keine Beschleunigung stattfindet. Sobald Beschleunigung auftritt, wird die Kurve parabelförmig und dann klappt v = ∆s/∆t nicht mehr.
Bei Kurven muss man daher von der Differenz ∆s/∆t zum Differential ds/dt übergehen und der Unterschied ist der, dass man bei Differenzen endliche Werte hat, während man beim Differential die Differenz gegen Null gehen lässt, weshalb da auch ->0 steht.
Das Ergebnis ist aber letztlich das selbe. Wenn der lim von ds/dt gegen 0 geht, heißt das, der Körper befindet sich zum Zeitpunkt t in Ruhe und hat die Geschwindigkeit v = 0.
Wenn die Geschwindigkeit gleich bleiben würde, wäre es egal. Wenn du aber einen Stein fallen lässt und herausbekommen willst, wie schnell ist der Stein nach 3,0 Sekunden, dann muss dt gegen 0 gehen. Der Stein wird ja immer schneller und dx/dt ist die durchschnittliche Geschwindigkeit in dem Zeitraum dt.
Also sagen wir dt sind 2 Sekunden. Von 2,0 bis 4,0 Sekunden, sodass die 3 sekundenmarke die uns interessiert genau in er Mitte ist. Mit s= 0,5gt^2 können wir ausrechnen: nach 2 Sekunden hat der 20m zurückgelegt. Nach 4 Sekunden sind es 80m. Dx ist also 60m. Er hat in 2 Sekunden 60m zurückgelegt. Also im Durchschnitt war er 30m/s schnell. Du willst aber nicht die durchschnittliche Geschwindigkeit wissen, sondern die Geschwindigkeit nach exakt 3sekunden. Jetzt könnte man dt 0,2 Sekunden setzen. Von 2,9 bis 3,1s. Dann hätte man die durschschnittliche Geschwindigkeit für diese 0,2 s, aber auch in diesen 0,2s ändert sich ja die Geschwindigkeit ein bisschen. Wenn man den exakten Wert haben will, muss man dt 0 setzen, dann bekommt man die Geschwindigkeit zu genau diesem Zeitpunkt.
Zwei Bemerkungen:
1.) Einfach dt gleich 0 setzen geht eben gar nicht wegen der resultierenden Division 0/0
2.) Wenn du beim Beispiel des freien Falls die betrachteten Zeitintervalle so schön symmetrisch um to herum legst, also [t1...t2] mit t1 = to-h und t2 = to+h , dann sind die daraus berechneten mittleren Geschwindigkeiten tatsächlich schon identisch mit der gesuchten Momentangeschwindigkeit. Diese symmetrische Wahl der Intervalle ist aber keine notwendige (und auch keine übliche) Bedingung für die Limesbildung.
Wenn ein Körper der x-Achse entlang beschleunigt wird, nimmt seine Geschwindigkeit ständig zu. Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt to zu ermitteln, kann man nun sehr kurze Zeitintervalle betrachten, die den Zeitpunkt to enthalten. Jedes derartige Zeitintervall hat aber eine gewisse positive Länge Delta-t. In diesem Zeitintervall legt der Körper eine gewisse Strecke Delta-s zurück. Aus diesen Größen berechnet man dann durch Quotientenbildung Delta-s / Delta-t eine mittlere Geschwindigkeit für das gewählte Zeitintervall. Um nun die exakte Geschwindigkeit zum exakten Zeitpunkt to zu erhalten, könnte man auf die Idee kommen, die Länge des Zeitintervalls, also Delta-t , auf Null zu reduzieren. Das klappt aber deshalb nicht, weil man dann als Ausdruck für die Geschwindigkeit den Ausdruck 0 / 0 erhielte, der gar nicht definiert ist.
Also ist die beste Lösung die, dass man sich überlegt, gegen welchen Grenzwert (oder "Limes") die Geschwindigkeiten Delta-s / Delta-t streben, wenn man eine Folge von Intervallen betrachtet, deren Längen Delta-t gegen Null streben. Falls dieser Limes wirklich existiert, steht er für die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt to .
Wahrscheinlich weil die Steigung der Streckenkurve die Geschwindigkeit ist und die Steigung ist die Ableitung, also das was du mit dem limes meinst:
lim ->0 bei dx/dterst einmal, hat das von grund auf gar nix mit Geschwindigkeit zu tun.
dx/dt bedeutet nur, dass du x nach t ableitest (Differentialrechnung)
du hast meine Antwort nicht verstanden, dort steht: "von Grund auf". In ihrere Frage klingt es als Gesetzmäßigkeit, dass dem immer so ist!
Meine Antwort war eher als Anreiz gedacht, sich mit den Grundlagen der Analysis zu beschäftigen, welche ja eindeutig von Nöten sind.
Sagen wir mal, ich habe nicht verstanden, was du mit deiner Antwort möglicherweise gemeint haben magst.
Was "von Grund auf" bedeutet, weiß ich sehr wohl.
"hat das von grund auf gar nix mit Geschwindigkeit zu tun"
Wie bitte ?
Möglicherweise hast du nicht verstanden, worum es der Fragestellerin geht: eindeutig um die Bestimmung einer Geschwindigkeit bei einer Bewegung, die durch eine Gleichung x = x(t) beschrieben ist.