Wann ist eine Wurzel definiert und wann undefiniert?
3 Antworten
"Eigentlich" sind Wurzeln aus negativen Zahlen im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Bei "geraden" Wurzeln, d. h. Quadratwurzel, 4., 6., 8. usw. Wurzel ist das definitiv so, bei "ungeraden" Wurzeln, also 3., 5, 7. usw. ist man sich da "uneins" bzw. kann es zu falschen bzw. nicht definierten Termen beim Umformen kommen.
So haben wir z. B. "damals" in der Schule auch bei 3.Wurzel(-8) mit -2 weitergemacht. Würde man da aber z. B. die Umformung =(-8)^(1/3) = e^(ln(-8)^(1/3)) machen, ist man aufgeschmissen, weil der ln für negative Zahlen nicht definiert ist.
Auch gibts Probleme, wenn man z.B. rechnet: ((-8)^(1/3))^(2/2) = (-8)^(2/6) = 6.Wurzel((-8)²) = 6.Wurzel(64) = +2...
Kommt auf den Wertebereich an.
Wenn du zB die Wurzelfunktion von R+ -> R+ (Der Wertebereich ist dabei eben R+) nimmst dann ist sqrt(x) nur definiert für x >= 0
Wurzeln mit geraden Exponenten (also Quadratwurzel, 4., 6., usw) sind im Bereich der reellen Zahlen für negative Zahlen nicht definiert, denn es gibt z.B. keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Im Bereich der komplexen Zahlen sind dagegen alle Wurzeln aus allen Zahlen definiert.