Geometrische Vielfachheit bestimmen?
Zwei Fragen:
1. Was kann ich mir unter der geometrischen Vielfachheit vorstellen? Ich höre immer wieder was von der "Dimension des Eigenraums". What?? (Google hilft mir da nicht wirklich zum Verständnis)
2. Wie berechne ich die geometrische Vielfachheit?
Hier einfach mal ein Beispiel.
1 Antwort
Die Matrix A hat die Eigenwerte lam1 = -3, lam2 = -3, lam3 = +2, lam4 = +2
Algebraische Vielfachheit des Eigenwerts = Anzahl identischer Nullstellen im charakteristischen Polynom
algebraische Vielfachheit des Eigenwerts -3 = 2
algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 = 2
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Der Eigenraum zum Eigenwert -3 wird von allen Vektoren v aufgespannt, die das GLS
(A + 3*E)*v = 0 lösen.
Lösung: v1 = (1,-5,5,0), v2 = (1,-5,0,5).
Die beiden Basisvektoren bilden einen zweidimensionalen Eigenraum. Die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert -3 beträgt damit 2.
Der Eigenraum zum Eigenwert +2 wird von allen Vektoren v aufgespannt, die das GLS
(A - 2*E)*v = 0 lösen.
Lösung: v1 = (1,0,0,0).
Der Basisvektor bildet damit einen eindimensionalen Eigenraum. Die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert +2 beträgt damit 1.
Die Dimension eines Eigenraums ist demnach die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen, wenn man den Eigenwert von der Hauptdiagonalen subtrahiert?