Wann ist ein Lineares Gleichungssystem nicht lösbar?
Hallo, ich helfe meiner kleinen Schwester gerade beim lernen, da sie am Freitag eine Klausur schreibt und würde gerne wissen, wann ein Lineares Gleichungssystem nicht lösbar ist. Wie hier auf dem Bild zu sehen haben wir hier das Additionsverfahren angewandt, aber das Ergebnis ist völlig falsch! Die Ergebnisse prüfen wir immer über eine Internetseite, aber manchmal kommt bei den Rechnungen einfach echt nur Schwachsinn bei raus.
Meine eigentliche Frage ist: Wie erkennt man, dass eine Gleichung mit dem jeweiligen Verfahren nicht lösbar ist bevor man drauf los rechnet und kostbare Zeit verliert oder haben wir beim Rechnen irgendeinen schritt falsch gemacht? Wir haben es jetzt ein paar mal durchgerechnet, aber irgendwie kommt immer das gleiche dabei raus. 😅
Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten!
13 Antworten
2x+3y=41 und 3x+2y=39 |I * 3 - II * 2
2x+3y=41 und 5y=45 | II:5 und in I einsetzen
y=9 und x=7
Ein LGS ist dann nicht lösbar, wenn eine Gleichung im Widerspruch zur anderen steht, Beispiel: x+y=0 und 2x+2y=1
Erst muss tatsächlich gerechnet werden. Kommt man dabei auf etwas wie 7 = 7 (Variablen fallen raus) gibt es unendlich viele Lösungen. Bleibt etwas wie 7 = 9 gibt es keine Lösung...
Ein Fehler liegt schon bei 41 * -3.
Zusätzlich ist der Schritt -51 nicht richtig durchgeführt ihr müsst immer auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Rechnung druchführen.
Lösbarkeitsregeln
- Fall Es sind genau so viele Unbekannte wie Gleichungen vorhanden es existiert eine eindeutige Lösung
- Fall es sind mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden es gibt unendlich viele Lösungen ,eine oder mehrere Unbekannte können frei gewählt werden
- Fall Es gibt einen Widerspruch (Unsinn) keine eindeutige Lösung ,nicht lösbar
Gl.1 2*x+3*y=41
Gl.2 3*x+2*y=39 Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) x=7 und y=7
Gl.1 mal -3 ergibt -6*x-9*y=-123
Gl.2 mal 2 ergibt 6*x+4*y=78
Gl1. -6*x-9*y=-123
Gl.2 6*x+4*y=78 addiert
-5*y=-45 ergibt y=-45/-5=9 l.1
Zum Widerspruch,kommt es,wenn die Gleichungen nicht unabhängig sind
Beispiel : 2*x+3*y=41 mal 2 ergibt 4*x+6*y=82
Gl.1 2*x+3*y=41
Gl2. 4*x+6*y=82 beim GTR führt dies zu "Error"
Nicht bei jedem nicht lösbaren LGS kann man es gleich erkennen.
Wenn du aber siehst, dass eine Zeile das Vielfache einer anderen ist, brauchst du gar nicht erst anfangen zu rechnen.
Wenn du mindestens eine Unbekannte mehr als Zeilen hast, bekommst du nur Zahlenverhältnisse und keine klaren Zahlen heraus.
Wenn du merkst, dass du irgendwo durch 0 teilen sollst, kannst du auch aufhören.
Im weiteren Verlauf der Schuljahre wirst du aber erkennen, dass so etwas manchmal gewollt sein kann, weil man andere Ergebnisse als nur Lösungen haben will, z.B. eine Aussage darüber, dass ein Annahme wahr oder falsch ist.
Wenn eine Zeile das Vielfache der anderen Zeilen ist, hat man unendlich viele Lösungen!
Einmal eins komplett zur Anschauung:
Ⅰ 2x + 3y = 41 | *2 y soll eliminiert werden
Ⅱ 3x + 2y = 39 | *(-3)
--------------------------------
Ⅰ 4x + 6y = 82 | +
Ⅱ -9x - 6y = -117 | +
---------------------------------
Ⅰ+Ⅱ -5x = -35 | /(-5)
x = 7
x->Ⅰ 14 + 3y = 41 | -14
3y = 27 | /3
y = 9
Danke für die Antwort! Ja meine Schwester hatte immer Probleme dabei zu erkennen welche lösbar sind und welche nicht, da ihre Lehrerin solche Aufgaben auch im Unterricht mal gerne dran genommen hat. War echt sehr hilfreich☺️