Wann ist diese Reihe konvergent?
Für welches t∈ℝ ist die folgende Reihe konvergent?
Diese Art von Aufgaben, dass nach einer Konstanten in einer Reihe gefragt wird kenne ich bisher überhaupt nicht, und wüsste gerade keinen Ansatz um das t zu bestimmen.
1 Antwort
Für t=0 konvergiert sie offensichtlich. Für t < 0 handelt es sich um eine geometrische Reihe (mit Vorfaktor und verschobenem Index, ist hier nicht relevant). Diese konvergiert genau dann, wenn |5t/π| < 1.
Für t > 0 handelt es sich um eine alternierende Reihe. Falls wieder |5t/π| < 1, so ist die (Null-)Folge (5t/π)^n streng monoton fallend und nach Leibniz-Kriterium konvergiert sie dann.
Falls t > 0, jedoch |5t/π| ≥ 1, so verändert sich die Reihe in jedemSchritt mindestens um 1 und ist somit keine Cauchyfolge und auch nicht konvergent.
Das war jetzt recht kompakt. Kannst natürlich nachfeagen, falls was unklar war.