Wann benutze ich Äquivalenz Zeichen und wann Gleich zeichen ?
Mathe
2 Antworten
Äquivalenz zwischen Aussagen und Gleich zwischen Zahlen.
x=5 kommt ein gleich zwischen, da x und 5 beides Zahlen sind.
x=5 <=> x+1=6 kommt ein Äquivalenzzeichen zwischen, da x=5 und x+1=6 beides Aussagen sind.
Die Aussageformen
"x = 5" und "x+1 = 6" sind nicht gleich - das kann man nicht mit Hilfe der Aussagenlogik allein entscheiden -, aber äquivalent - mit Hilfe der Algebra kann man beweisen, dass jedes x, das die eine erfüllt, auch die andere erfüllt, und umgekehrt.
Streng genommen müsste man von "Äquivalenzklassen von Aussageformen" sprechen, die dann wieder gleich sind. Im Beispiel ist
[x=5]
die Menge aller Aussageformen, für genau die x-Werte wahr werden, für die x=5 wahr wird, und
[x+1=6]
entsprechend die Menge aller Aussageformen, für genau die x-Werte wahr werden, für die x+1=6 wahr wird.
Da
(x+1=6) ∈ [x+5] und [x+5] ∈ [x+1=6]
gilt [x=5] = [x+1=6].
Genau genommen wäre es also korrekt, zu schreiben;
[x=5] = [x+1=6] | [...] bedeutet die Äquivalenz von Aussageformen
aber das ist komplizierter und verwirrender als
x=5 <=> x+1=6
Die Aussage "Es fällt Wasser vom Himmel" ist äquivalent zu der Aussage "Es regnet", aber die Aussagen sind nicht gleich. Bei Zahlen kann das aber leicht verwechselt werden. Eine Aussage A=B kann äquivalent zu einer anderen sein, aber sie ist nicht gleich. Wenn aber die äquivalente Aussage B=C wäre, wäre dadurch auch A=C.
Könntest du das ein einem Beispiel festmachen ?