Wahrscheinlichkeitsverteilung , Erwartungswert?
Hallo. Wie löse ich diese Aufgabe:
Glücksspiel : Ein fairer 10 seitiger Würfel, bezeichnet mit den Zahlen 1 bis 10 wird 3 mal geworfen.
(a) Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der geworfenen 1er an. Bestimmen Sie den Wertebereich und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Fallen drei 1er, erhält man 100 Euro, fallen zwei 1er, erhält man 10 Euro, ansonsten passiert nichts.
Bestimmen Sie unter Verwendung einer geeigneten Zufallsvariable Y einen festen Einsatz für das Glücksspiel. Geben Sie auch den Wertebereich und die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Y an.
3 Antworten
Hallo,
wenn Du dreimal würfelst und jedes Mal eine Zahl zwischen 1 und 10 erscheinen kann, gibt es im Ganzen vier Fälle zu unterscheiden, was das Vorkommen einer Eins betrifft: Du würfelst dreimal, zweimal, einmal oder keinmal eine Eins.
X kann also nur 0; 1; 2 oder 3 sein, damit sind alle möglichen Kombinationen abgedeckt; egal, wieviel Durchgänge mit drei Würfen durchgespielt werden - die Eins kommt höchstens dreimal vor.
Natürlich sind drei Einsen viel weniger wahrscheinlich als keine, eine oder zwei Einser.
Da die Eins nur eine von 10 möglichen Zahlen auf dem Würfel ist, erscheint sie (wenn der Würfel nicht manipuliert wurde oder fehlerhaft gearbeitet) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1.
Eine andere Zahl als Eins erscheint dann mit einer Wahrscheinlichkeit
von 1-0,1=0,9, das nennt man auch Gegenwahrscheinlichkeit.
Drei Einsen haben dann eine Wahrscheinlichkeit von 0,1*0,1*0,1*0,001.
X(3)=1/1000 oder 0,1 %.
Zwei Einser bedeutet: Zweimal würfelst Du eine Eins, einmal eine von den anderen Zahlen - welche genau, ist dabei egal, solange es nicht noch eine Eins ist.
Wahrscheinlichkeit zunächst 0,1^2*0,9=0,009. Das muß aber noch mit 3 multipliziert werden, weil die dritte Zahl, die keine Eins ist, beim ersten, zweiten oder dritten Wurf auftauchen kann. Daher: 3*0,009=0,027.
Daher: X(2)=0,027.
Eine Eins bedeutet: 0,1*0,9^2, denn diesmal zeigen zwei der drei Würfe etwas anderes als Eins. Da die Eins beim ersten, zweiten oder dritten Wurf erscheinen kann, multiplizierst Du auch das mit 3:
3*0,1*0,9^2=0,243=X(1)
Keine Eins bedeutet, daß dreimal etwas anderes als Eins erscheint.
X(0)=0,9^3=0,729.
Wenn wir richtig gerechnet haben, muß die Summe von X(0) bis X(3) genau 1 ergeben, denn es sind ja alle möglichen Ausgänge des dreimaligen Wurfes abgedeckt: 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Wenn Du nun 1000 Durchgänge mit jeweils drei Würfen würfelst, kommt im Idealfall (wenn jede mögliche Kombination - es gibt 10^3=1000 - nur einmal vorkommt, denn beim Berechnen des Erwartungswertes setzt man genau diese Situation voraus) einmal die Kombination mit drei Einsen vor, 27 mal die Kombination mit zwei Einsen, 243 mal die Kombination mit nur einer Eins und 729 mal die Kombination mit keiner Eins.
Dabei sind alle diese Kombinationen unterschiedlich, weil (außer bei drei Einsen) die Zahlen 2 bis 10 an den Stellen vorkommen, an denen keine Eins gewürfelt wurde.
Da es den Hunni nur für den einen Fall gibt, in dem drei Einsen geworfen werden und 10 Euro für die 27 Kombinationen mit zwei Einsen, kannst Du bei 1000 Durchgängen damit rechnen, daß Du 370 Euro als Gewinn ausgezahlt bekommst.
Zahlst Du also mehr als 370 Euro für 1000 Durchgänge, was 37 Cent für einen Durchgang entspricht, mußt Du auf Dauer damit rechnen, Geld zu verlieren. Zahlst Du weniger, gewinnst Du auf Dauer, zahlst Du genau 37 Cent pro dreimal Würfeln, nennt man das Spiel fair: Du gehst (theoretisch) mit genauso viel Geld in der Tasche nach Hause, wie Du vor dem Spiel darin hattest.
Fair in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bedeutet also, daß weder der Spieler noch der Spielbetreiber im Idealfall Geld verlieren.
Natürlich gibt es im wirklichen Leben Abweichungen von diesen theoretisch errechneten Werten. Du kannst zweimal spielen und in beiden Fällen jeweils drei Einser würfeln, Du kannst auch 1000 mal spielen und keinen einzigen Einser würfeln. Interessanterweise nähern sich die tatsächlichen Ergebnisse den errechneten immer näher an, je mehr Durchgänge gespielt werden.
Du wirst, wenn Du es tatsächlich mit einem zehnseitigen Würfel ausprobierst, unter 1000 Durchgängen von je drei Würfen höchstwahrscheinlich nicht viel mehr oder weniger Einserpaare erzielen als die errechneten 27; Du kannst sogar darauf wetten, daß die tatsächliche Zahl zwischen 26 und 28 liegt.
Bei nur 100 Durchgängen wären die Schwankungen natürlich stärker, bei 10 Durchgängen könntest Du keine seriöse Voraussage machen.
Die Annäherung tatsächlicher Werte an die errechneten bei vielen Versuchen nennt man das Gesetz der großen Zahl. Auf diesem Gesetz basieren die Geschäftsmodelle von Spielkasinos und Versicherungsgesellschaften und vergleichbaren Einrichtungen.
Herzliche Grüße,
Willy
3 1ser
(1/10)³
2 1ser
1/10 * 1/10 * 9/10
dreifach, weil ( x heißt keine 1 )
1 1 x
1 x 1
x 1 1 möglich ist
1 1ser
1/10 * 9/10 * 9/10
dreifach, weil
1 x x
x 1 x
x x 1
möglich ist.
Sonst : 1 - ( Summe der W von oben )
E(x) ist die Summer der W mal Auszahlung
E(x) =
W(3 mal 1 ) * 100
+
W(2 mal 1 ) * 10
+
W(1 mal 1 ) * 0
+
W( sonst ) * 0
Und jetzt kann man basteln für Y.
Für ein faires Spiel sind Einsatz (EIN) und E(x) gleich.
Für ein Spiel , bei dem der Spieler eher gewinnt , ist EIN < E(X)
, bei der er verliert ist EIN > E(X)
Was genau ist jetzt deine Frage? Wie oft kannst du denn eine 1 würfeln? Das bestimmt den möglichen Wertebereich der Zufallsvariable.
Also X= Anzahl der 1er ?