Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Eine Klasse, bestehend aus 30 Personen wichtelt. Deshalb losen sie aus wer wem was schenkt. Dazu schreibt jeder seinen Namen auf einen Zettel und wirft ihn in eine Box. Jetzt zieht die Klasse, Schüler nach Schüler, einen zufälligen Namen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Schüler selbst zieht?
2 Antworten
Edit: Nach einigen Überlegungen muss ich gestehen, dass sich meine ansonsten tolle Erklärung in Rauch auflöst, da ich eine grundlegende Eigenschaft nicht bedacht habe.
Die Anzahl der günstigen Permutation pendelt sich immer weiter Richtung ~36,8% ein. Während es bei n=2 noch 1/2 ist und bei n=3 noch 1/3 (2/6), steigt es mit n=4 auf 3/8 (9/24) und schwingt dann immer mehr Richtung 1/e.
Bei n=30 kannst du also schlicht von 63,2% Wahrscheinlichkeit ausgehen, dass sich einer selbst zieht.
Ich muss gestehen, ich wusste es nicht, aber auch andere haben sich hier vertan. ;-)
Im Zähler müsste die Subfakultät der Anzahl Schüler stehen, nicht die Fakultät der Anzahl Schüler - 1.
Ich habe mich deinem Gedankenspiel angenommen und muss sagen, du hast recht.
Nach dieser Erkenntnis hatte ich mir ein Programm geschrieben, was mir die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ausgibt (die Anzahl aller Möglichkeiten ist ja schlicht n!).
Da es bei n=10 dann langsam anfing wirklich lange zu dauern, bis ich alle günstigen Kombinationen ermittelt hatte (immerhin musste ich ja n! Möglichkeiten ermitteln und abgleichen ob sie günstig sind), hatte ich die Reihenfolge der günstigen Kombinationen mal im Internet gesucht:
1 2 9 44 265 1854 14833 133496 1334961
Als Ergebnis bekam ich:
https://oeis.org/A000166/list
Mit einigen Erklärungen denen ich um 3 Uhr aber nicht mehr so richtig folgen konnte, zumal ich kein Mathematik studiert habe, meine Kenntnisse in der Richtung also limitiert sind.
Vielleicht verstehst du es (und kannst es mir erklären), zu finden auf:
https://oeis.org/A000166
Jedenfalls scheint sich basierend darauf, die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ab n>15 im Muster [36,757142857143; 36,7879441171442; 36,7879441171442] % der Möglichkeiten zu präsentieren (jeweils im Wechsel)
Bei n=30 hätten wir mit diesem Muster dann 36,7879441171442% günstige Möglichkeiten. Damit ergäbe sich eine Wahrscheinlichkeit von
p = 1-0,367879441171442
p = 0,63212055882
Aber hier kommt die Quizfrage: WELCHER SCHÜLER wäre zu dieser Berechnung je in der Lage?
Vielleicht ist die Erklärung für die Logik der günstigen Möglichkeiten ganz einfach und sowas lernt man heutzutage und ich habe gerade einfach eine Verständnisblockade, aber ich hätte nicht gewusst, wie ich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten für n=30 berechnen soll... Du?
Eine einfachere Methode als das mühselige Abzählen ist mir bis jetzt auch noch nicht eingefallen. Das ist aber vielleicht noch bei sieben oder acht Personen zu machen, zumal es reicht, nur die Fälle zu betrachten, bei denen die 2 vorn steht, weil die anderen (3 bis n) genauso viele mögliche Reihenfolgen bieten, obwohl auch das nur eine Vermutung von mir ist, danach sollte dann Kollege Computer übernehmen. Jedenfalls läßt es sich wohl nicht so einfach wie das Geburtstagsproblem berechnen
Eterneladen hat in seiner Antwort ja gesagt, daß es hier um die fixpunktfreie Permutation geht und daß die Wahrscheinlichkeit, sich nicht selbst zu ziehen, gegen 1/e konvergiert, also gegen knapp 37 %.
bei denen die 2 vorn steht, weil die anderen (3 bis n) genauso viele mögliche Reihenfolgen bieten
Das hatte ich mir auch gedacht. Die Vermutung hatte ich für mich auch dadurch erhärtet, weil sich alle (getestet bis n=23) günstigen Permutationen größer 1 restlos durch n-1 teilen lassen.
Dadurch würde man sich (n-1) Durchläufe ersparen beim Berechnen.
So ganz verstehe ich es zwar noch nicht, aber vielen Dank erstmal.
Was genau verstehst du denn nicht? Vielleicht kann ich es dir erklären.
Vermutlich sollst du das über das Inklusion-Exklusion-Prinzip berechnen. Das kannst du hier nachschauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation#Herleitung_%C3%BCber_das_Inklusions-Exklusions-Prinzip
Die Frage ist ein alter Hut und ich hätte gedacht, es sei in der Community bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keiner das eigene Geschenk zieht, für grosse n gegen 1/e geht, das kann man nämlich auch bei Wikipedia nachlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Wichteln#Trivia. Umgekehrt liegt die Ws., dass mindestens einer das eigene Geschenk erhält, etwa bei 63%.
So habe ich zunächst auch gerechnet.
Dann aber kamen mir Zweifel.
Nehmen wir mal an, es gäbe nur vier Spieler.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich keiner selbst zieht?
Spieler 1 hat eine Chance von 3/4, sich nicht selbst zu erwischen. Im restlichen Viertel hat er sich selbst gezogen und das Spiel ist gelaufen.
Bei Spieler 2 kommt es nun darauf an, ob Spieler 1 Spieler 2 gezogen hat. In diesem 1/4 aller Fälle kann sich Spieler 2 gar nicht selbst ziehen.
In der Hälfte der Fälle hat Spieler 1 weder sich selbst noch Spieler 2 gezogen, so daß dieser eine Chance von 2/3 hat, sich nicht selbst zu ziehen.
1/4+(1/2)*(2/3)=1/4+1/3=7/12.
Beim dritten Spieler hängt die Sache dann davon ab, ob sein Name schon aus dem Spiel ist, weil Spieler 1 oder Spieler 2 ihn bereits gezogen hat, oder nicht.
Ich denke, man muß hier den Anteil der Reihenfolgen, bei denen weder die 1 an Stelle 1, noch die 2 an Stelle 2, noch die 3 an Stelle 3, noch die 4 an Stelle 4 liegt, durch die Anzahl aller Möglichen Reihenfolgen bei 4 Personen, also 4!=24 teilen.
Von diesen 24 möglichen gleich wahrscheinlichen Reihenfolgen gibt es nur 9, bei denen keine Zahl mit ihrer Platznummer übereinstimmt, also kein Spieler seinen eigenen Namen zieht:
2143; 2413; 2431; 3142; 3412; 3421; 4123; 4312; 4321. Die 1 an erster Stelle geht natürlich nicht, denn dann hätte Spieler 1 seinen eigenen Namen gezogen.
Das ist bei vier Personen eine Chance von 9/24=3/8, daß niemand seinen eigenen Namen gezogen hat.
Dieses Verfahren bei 30 Personen durchzuführen, dürfte aber sehr aufwendig sein.