Wahrscheinlichkeitsrechnung - Kaffeeautomat?
Brauche Hilfe zu folgender Aufgabe:
Ein Kaffeeautomat gibt im Durchschintt eine bestimmte Menge Kaffee pro Tasse ab. Eine Tasse fasst maximal 27cl. Die ausgegebenen Mengen an Kaffee pro Tasse sind normalverteilt mit einer Standardabweichung von 2 cl. Auf welche mittlere Ausgabemenge ist der Automat einzustellen, damit die Tassen mit nicht mehr als 3% Wahrscheinlichkeit überfließen?
Danke im voraus!
2 Antworten
Wie hoch ist denn der Mittelwert? Ohne den zu kennen, läßt sich das nicht berechnen.
Blödsinn. Der Mittelwert soll ja gerade bestimmt werden.
In einer Tabelle für die kumulierte Normalverteilung findest Du unter 0,97 den Wert x=1,88. Das bedeutet: 97 % aller Werte finden sich von 0 bis Mittelwert plus 1,88 Standardabweichungen.
Da die Standardabweichung hier 2 ist und 2*1,88=3,76, muß die Maschine auf eine Ausgabemenge von 27-3,76=23,24 cl eingestellt werden.
Dann läuft sie erst über, wenn der Mittelwert über die 1,88fache Standardabweichung hinaus nach oben hin überschritten wird - und das ist nur in 3 % aller Fälle so.
Der Mittelwert ist der gesuchte Sollwert, auf den die Maschine eingestellt wird. Die Standardabweichung sei davon unabhängig immer gleich.
Meine Rede. Da die Standardabweichung und die Art der Verteilung bekannt sind, läßt sich der Erwartungswert über die Gaußsche Summenfunktion leicht ermitteln.
Schaust du in der Tabelle, wieviel sigma du für 3 % (oder 97%) hast. Da die absolute Standardabweichung gegeben ist, ich schätze mal so um 2 cl x 2,0 gibt 4 cl. diese zusätzlichen 4 cl müssen noch in die Tasse gehen, wenn die Tasse 27 cl fasst, muss die Füllmenge 26 cl sein, dann geht es in 97% der Fälle noch rein. Zusatzaufgabe: Wieviel Kaffee wird gespart, wenn 1000 Tassen mit Sicherheitsabstand 2 Sigma verkauft sind?
Gegen Ende ist da ein vergleichbares Beispiel.
Hier steht noch als Zusatz: Die Wahrscheinlichkeiten dürfen der Tabelle entnommen werde ohne genau zu interpolieren. Angabe in cl mit 2 Nachkommastellen genügt.
Ansonsten steht hier nichts mehr dazu. Wenn selbst Du keine Idee zu hast, dann weiß ich auch nicht weiter... :(