Wahrscheinlichkeitsdichte?
Hallo,
ich komme beim lösen dieser Aufgabe leider nicht voran. Weder das Internet noch Bücher haben mir helfen können. Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Gegeben sei die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p: ℝ —> ℝ+
p(x) = ax: für x ∈ [0,1]
0 : sonst
a) Bestimmen Sie a so, dass p(x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, also korrekt normiert ist.
b) Geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F(t) an. Machen Sie bei der Angabe von F(t) eine Fallunterscheidung für das Intervall, aus dem t kommt.
c) Berechnen Sie die zugehörige Varianz.
2 Antworten
Anknüpfend an die Antwort von R4c1ngCube,
(b) Die Verteilung ist die integrierte Dichte,
F(t) = 0 (für t<0)
F(t) = t^2 (für 0 <= t <= 1)
F(t) = 1 (für t>1)
(c) Man kann zunächst den Erwartungswert E(X) berechnen,
Integral( 0 bis 1 ) x * 2x dx,
und dann noch E(X^2),
Integral( 0 bis 1 ) x^2 * 2x dx,
beides keine schwierigen Integrale,
dann ist V(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Zu a)
Eine korrekt normierte Wahrscheinlichkeitsdichte hat die Eigenschaft, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren.
Da diese hier allerdings auf den reellen Zahlen definiert ist, nutzt man stattdessen das Integral.
Du suchst also das a, sodass das Integral von 0 bis 1 über ax = 1 ist. (Eigentlich von minus unendlich bis + unendlich aber das macht hier keinen Unterschied)
a muss außerdem positiv sein, da jeder Wert der Dichte nach Definition positiv sein muss. In diesem Fall ergibt sich das aber bereits aus der anderen Eigenschaft.
Zu b)
Die Dichte ist, wenn ich mich richtig erinnere, die Funktion, die alle Wahrscheinlichkeiten von - unendlich bis x aufsummiert. Also integriert, da reell.
Fallunterscheidung evtl. die gleiche die auch bei der Verteilungsfunktion gemacht wurde, ich wüsste aber nicht wieso. Bin mir da also nicht sicher.
Aber ich denke, die Dichte ist das Integral von 0 bis x bzw. einfach 0 wenn außerhalb von dem Interval
