Wahrscheinlichkeit: 10 Münzwürfe, mindestens 6 mal Zahl?
Hallo,
da meine Schulzeit schon viele Jahre zurückliegt, habe ich - wie es scheint - leider die einfachsten Stochastik-Basics vergessen :-(
Könnte mir evtl. bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Wenn man eine Münze n mal wirft (sagen wir 10) und mindestens k mal (sagen wir 7) eine bestimmte Seite möchte (sagen wir Zahl), wie rechnet man dann die Wahrscheinlichkeit dafür aus?
Es müsste ja irgendwie so gehen, dass man von 1 den Wert für 6 mal oder weniger subtrahiert, oder? Aber wie kommte ich denn dann auf die Wahrscheinlichkeit für 6 mal oder weniger?
Ich hoffe man versteht, was ich meine, und dass ich die Buchstaben korrekt benutze.
Freue mich über jede Hilfe :-)
1 Antwort
Hallo,
mindestens siebenmal Zahl bei 10 Würfen bedeutet 7, 8, 9 oder 10 mal Zahl.
Du mußt diese einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren.
Da der Münzwurf ein Laplace-Experiment ist - es gibt nur zwei Möglichkeiten, die sich gegenseitig ausschließen (Kopf oder Zahl) und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Zahl ändert sich nicht von Wurf zu Wurf - kannst Du die Wahrscheinlichkeit P(k) über die Bernoullikette berechnen.
(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k), wobei n über k der Binomialkoeffizient n!/[k!*(n-k)!] ist und die Anzahl der Möglichkeiten angibt, wie sich k Elemente in einer Reihe von n Elementen verteilen kann. Wenn Du 7 mal Zahl berechnest, müssen ja nicht gleich die ersten 7 Würfe eine Zahl sein, sondern insgesamt 7 von 10 Würfen.
10 über 7 ist gleich 10!/[7!*(10-7)!]=(8*9*10)/(1*2*3)=120.
Für k=7 und p=1/2, n=10 rechnest Du also 120*(1/2)^7*(1-1/2)^3, denn wenn unter den 10 Würfen genau 7 mal Zahl erscheinen soll, muß auch dreimal Kopf erscheinen, um die 10 vollzumachen. Kopf hat hier auch die Wahrscheinlichkeit 1/2, denn eine faire Münze zeigt mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl.
P(7)=120*(1/2)^7*(1/2)^3=0,1172 (gerundet).
P(8)=(10 über 8)*(1/2)^8*(1/2)^2=0,044.
P(9) und P(10) berechnest Du auf gleiche Weise.
Anschließend die vier Ergebnisse addieren.
Du kannst auch die Summenfunktion des Rechners benutzen, dann geht es schneller.
Insgesamt kommst Du auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,172 (gerundet) für mindestens 7 mal Zahl bei 10 Würfen.
Die jeweiligen Binomialkoeffizienten bekommst Du über die Taste nCr des Rechners.
10 über 7 gleich 10 nCr 7=120.
Außerdem kannst Du auch die statistischen Funktionen des Rechners nutzen unter Binomialverteilung.
Herzliche Grüße,
Willy
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen lieben Dank, so verstehe ich es auf Anhieb! :-)
Ist ja auch egentlich recht einfach, nur den Einstieg zu finden, fiel mir etwas schwer, aber vieles davon kommt mir noch bekannt vor.
Danke sehr!