Mathe Problem?
Sei S := {(a1, a2, a3, . . . ) : aj ∈ {0, 1} für alle j}, d.h. S enthält alle unendlichen ”Tupel“, die nur aus Nullen und Einsen gebildet werden.
Wann sind zwei Elemente aus S verschieden?
Zeigen Sie: S ist nicht abzählbar.
Ich hab leider gar kein Plan wie ich vorgehen soll hat jemand Ideen ?
3 Antworten
Zwei Elemente aus S sind verschieden, wenn sie in mindestens einer Komponente verschiedene Einträge haben. Das kann man ausnutzen, um zu einer gegebenen Folge von unendlichen Tupeln ein neues Tupel zu finden, das in jeder Komponente verschieden zu mindestens einem Tupel aus der Folge ist.
Wann sind zwei Elemente aus S verschieden?
Die sind verschieden, wenn die nicht gleich sind. Die sind gleich, wenn jeder Eintrag der beiden jeweils übereinstimmt. Wann sind also zwei Elemente unterschiedlich?
Zeigen Sie: S ist nicht abzählbar.
Nimm an, dass S abzählbar ist, es gibt also eine Nummerierung die alle Elemente aus S enthält. Konstruiere nun ein Element aus S, welches ungleich wie jedes nummerierte element aus S ist. S kann somit nicht abzählbar sein.
Wenn man als bekannt voraussetzt, dass die reellen Zahlen und damit auch das abgeschlossene Intervall [0, 1] überabzählbar sind, lässt sich die Überabzählbarkeit der Standard-Basis S des Folgenraumes l_unendlich leicht zeigen. Jede reelle Zahl im Intervall [0, 1] hat eine eindeutige Binärdarstellung 0,a_1 a_2 a_3… mit a_k = 0 oder 1 für alle k. Somit erhält man in natürlicher Weise eine Inklusion i: [0, 1] -> S, was alles zeigt.