Vektorgeometrie?
Hey,
Ich wollte euch Fragen, wieso es so ist, wenn man mithilfe des Spatprodukts ein Volumen von z.B. ein Tetraeder ausrechnet, dass man das Volumen am Ende durch 6 dividieren muss, also man rechnet
V= | (axb) *c | / 6
Danke im Voraus!
1 Antwort
https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_(Geometrie)#Elementargeometrische_Begr%C3%BCndung
Den Würfel kann man in drei Pyramiden zerlegen. Der Punkt A ist dabei immer die Spitze. Die Pyramide mit der Grundfläche CBFG ist hier dargestellt. Dazu gibt es noch die Pyramiden mit den Grundflächen EFGH und DCGH. Durch Halbierung dieser Pyramiden entlang der Diagonalen der quadratischen Grundflächen entstehen 6 Tetraeder mit gleichem Volumen, die jeweils von drei Kanten des Würfels aufgespannt werden. Der Betrag des Spatproduktes dreier Kanten als Vektoren, die den Würfel aufspannen, wäre das Volumen des Würfels. Das Volumen eines der 6 Tetraeder ist dann ein Sechstel davon. Nach dem Prinzip von Cavalieri kann man diese Berechnung auf Spate anstatt des Würfels verallgemeinern. Wenn man einen der drei Vektoren mit einem Faktor streckt, vergrößert sich auch das Volumen des resultierenden Quaders um diesen Faktor. Die Scherung verändert das Volumen nicht.
Das Volumen einer Pyramide ist 1/3 ⋅ Grundfläche ⋅ Höhe und die Grundfläche ist 1/2 ⋅ Grundlinie ⋅ Höhe. Zusammen ist das dann 1/6 des Spatvolumens.
Die Grundfläche des Tetraeders ist ein Dreieck. Ein Dreieck berechnet man mit ein halb mal Grundlinie mal zugehörige Höhe. Das Volumen des Tetraeders ist dann ein Sechstel mal eine Seitenlänge mal die Höhe zu der Seite in dem Dreieck mal die Höhe des Tetraeders.
was wird gemeint mit:
Das Volumen einer Pyramide ist 1/3 ⋅ Grundfläche ⋅ Höhe und die Grundfläche ist 1/2 ⋅ Grundlinie ⋅ Höhe. Zusammen ist das dann 1/6 des Spatvolumens.