Vektoren Orthogonalität?
Aufgabenstellung : Geben sie die Gleichung eine Gerade h an, die die Gerade g orthogonal schneidet.
Gleichung (siehe Bild)
Ich habe jetzt den Stützverktor (4;4;3) übernommen und zu dem Richtungsvektor (1;9;4) einen anderen Vektor erstellt, nämlich (0;3;5,25).
Dieser ist zu dem Richtungsvektor orthogonal.
Meine endgültige Gleichung sieht also so aus : Vektor von X = (4;4;3)+r•(0;3;5,25)
Ist das so eine Möglichkeit das zu rechnen ? Wenn ja, wie kann ich das kontrollieren ?
Wenn nein, wie geht es richtig ?
Vielen Dank im Vorraus.
![10/a) - (Schule, Mathematik, Abitur)](https://images.gutefrage.net/media/fragen/bilder/vektoren-orthogonalitaet/0_big.jpg?v=1480809004000)
3 Antworten
Also du hast eine Gerade g gegeben. Gesucht sei nun eine Gerade h, welche orthogonal zu g verläuft und einen Schnittpunkt mit g hat.
Lasse nun also g die Form haben:
g: x = v*t + p (Vektoren sind die markierten Variablen)
h habe nun die Form:
h : x = w*k + m
mit den noch Unbekannten Vektoren: w, m
Der Richtungsvektor w der Gerade h muss aufgrund der geforderten Orthogonalität zu g orthogonal zu v sein. Es muss also gelten:
<v, w> = 0 (mit dem Standard-Skalarprodukt: < arg1, arg2 > )
Bei vorgegebenem Vektor v kann dies sehr einfach erreicht werden.
1.) Möglichkeit (im IR^3):
w = v x p (mit Kreuzprodukt arg1 x arg2 )
2.) Möglichkeit (im IR^2):
Setze w(x) = -v(y) und w(y) = v(x)
(wobei w(x) die x-Komponente des w-Vektors bezeichnet)
--> Entspricht Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 90°
3.) Möglichkeit (im IR^3):
3.1) Vektor v besitzt mindestens 2 Einträge die nicht 0 sind !!
--> Falls einer der Einträge von v nicht 0 ist, so setze einen beliebigen Eintrag zu 0.
--> Wende 2.) auf den "Rest" von v an (Vertauschen der nicht 0 Einträge)
3.2)
Der Vektor v besitzt 2 Null-Einträge. Daher setze bei w einfach an die Stelle , wo kein Null-Eintrag bei v steht, eine 0. Die anderen beiden Einträge können dann beliebig gesetzt werden.
Um einen Schnittpunkt zwischen h und g hervorzurufen machen wir es uns einfach, wir setzen den Aufpunkt m von h einfach gleich einem anderen beliebigen Punkt auf g, wir können also schreiben:
m = g(s) mit s aus IR beliebig
An deinem Beispiel:
v = (1, 9, 4)
Ich wende darauf nun 3.1) an:
--> w = (-4, 0, 1)
p = (4, 4, 3) = g(s = 0)
Somit wäre eine mögliche Form von h:
h: x = g(s = 0) + k*(-4, 0, 1) = (4, 4, 3) + k*(-4, 0, 1)
Denn Stützvektor übernehmen ist eine gute,Idee . Dann hast du die 1. Bedinung erfüllt, nämlich dass es einen gem. Punkt gibt, bzw. Schnittpunkt gibt.
Die RV müssen orthogonal sein. Also RV1 * RV2 = 0
Überprüfe mal das nochmal!
Die ska. Mul. von 2 Vektoren ist doch definiert als (x,c,v) * (a,s,d) = x*a + c*s+v*d=....
Als RV2 kannst du einfach diesen Vektor nehmen: (-4,0,1)
RV1 * RV2 =0 ----> -4*1+ 0*9 + 1*4=0=orthogonal!
Du kannst es kontrollieren, indem du die beiden Geraden gleichsetzt und damit den Schnittpunkt herausfindest. Wenn es keinen Schnittpunkt gibt, hast du irgendwo einen Fehler gemacht.
Ok danke. Ich glaube mein Fehler lag darin das ich den RV1 mit einem neuen Vektor (b1:b2;b3) multipliziert habe. Da habe ich für b1=0 und b2=3 gesetzt. Dann das Skalas Produkt gebildet und einfach aufgelöst. Das müsste doch eig. gehen ?