Vektoren auf maximale Dimension prüfen und herausfinden ob sie eine Basis haben die Musterlösung macht keinen Sinn siehe Foto?
Hallo also das ist die Musterlösung meines profs, leider weiß ich nicht was jetzt das Ergebnis ist also er beantwortet nicht die Frage ob sie denn jetzt eine Basis bilden oder nicht und was die maximal mögliche Dimension ist wer kennt sich aus?
Mit freundlichen Grüßen
1 Antwort
Naja, am Ende hast du dann bei der Stufenform drei Nicht-Nullzeilen und eine Nullzeile.
Wegen den 3 Nicht-Nullzeilen ist der von den 4 Vektoren aufgespannte Untervektorraum 3-dimensional. Die 4 Vektoren bilden demnach keine Basis des 4-dimensionalen Vektorraums ℝ⁴ (oder ℚ⁴, oder was auch immer, je nachdem welcher Körper hier zugrunde liegt).
Nein. Du hast doch hier auch 4 Vektoren gegeben, die aber nur einen 3-dimensionalen Raum aufspannen.
Hier hat man Spaltenvektoren mit jeweils 4 Einträgen vorliegen. Diese liegen im ℝ⁴, weshalb ich implizit davon ausgehen würde, dass danach gefragt ist, ob die gegebenen Vektoren eine Basis des ℝ⁴ bilden. Denn in der Aufgabenstellung steht nur die Frage, ob die „Vektoren eine Basis bilden“. Es steht aber nicht, von welchem Vektorraum dies eine Basis sein soll.
Aber im Grunde ist das hier auch erst einmal relativ egal, denn eine Basis eines Vektorraums kann als eine maximale linear-unabhängige Teilmenge des Vektorraums charakterisiert werden. Im vorliegenden Fall hat man jedoch dann beim entsprechenden Gleichungssystem in der Stufenform nur 3 Nicht-Nullzeilen bei 4 Variablen (eine Variable für jeden Vektor). Daher sind die 4 Vektoren nicht linear-unabhängig, da man beim Gleichungsystem 4-3 = 1 Variable frei wählen kann, das Gleichungssystem also nicht eindeutig lösbar ist, sondern unendlich viele Lösungen hat. Da die 4 Vektoren also nicht linear-unabhängig sind, können sie keine Basis bilden.
Da man 3 Nicht-Nullzeilen in der Stufenform hat, kann man auch erkennen, dass es möglich ist 3 der 4 Vektoren auszuwählen, so dass die 3 gewählten Vektoren linear-unabhängig sind. Diese 3 Vektoren bilden dann eine Basis des von den 4 Vektoren aufgespannten 3-dimensionalen Untervektorraums des 4-dimensionalen Vektorraums ℝ⁴.
Ok also welche Dimension der vektorrraum hat hängt davon ab wie viele Vektoren in der Aufgabenstellung vorgeschrieben sind stimmt’s? Also wenn da 3 wären wäre die Dimension 3????